«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
На конгрессе собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что никакие двое учёных, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Докажите, что найдётся учёный, у которого ровно один друг.
$N$ гирь, каждая из которых весит целое число граммов, разложены на $K$ равных по весу куч. Докажите, что можно не менее чем $K$ разными способами убрать одну из гирь так, что оставшиеся $(N - 1)$ гири уже нельзя разложить на…
Для каких $n$ существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из $n$ звеньев, что любая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?
На сторонах $A_2A_3$, $A_3A_1$, $A_1A_2$ треугольника $A_1A_2A_3$ построены квадраты с центрами $O_1$, $O_2$, $O_3$, лежащие вне треугольника. Докажите, что:
На доске выписаны числа от 1 до 50. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать одно число — модуль их разности. После повторения указанной процедуры несколько раз на доске остаётся одно число. Какое это может быть число?
Дан треугольник $C_1C_2O$. В нём проводится биссектриса $C_2C_3$, затем в треугольнике $C_2C_3O$ — биссектриса $C_3C_4$ и так далее. Докажите, что последовательность величин углов $\gamma_n=\angle C_{n+1}C_n O$ стремится к пределу, и найдите этот предел,…
Докажите, что если $a$, $b$, $c$, $d$, $x$, $y$, $u$, $v$ — вещественные числа и $abcd\gt0$, то $$ \begin{gathered} (ax+bu)(av+by)(cx+dv)(cu+dy)\ge\\ \ge(acuvx+bcuxy+advxy+bduvy)(acx+bcu+adv+bdy). \end{gathered} $$
Сечения выпуклого многогранника тремя параллельными плоскостями $p_0$, $p_1$ и $p_2$ ($p_1$ расположена между $p_0$ и $p_2$ на одинаковом расстоянии $h$ от той и другой) имеют площади $S_0$,…
В таблицу $n\times n$ записаны $n^2$ чисел, сумма которых неотрицательна. Докажите, что можно переставить столбцы таблицы так, что сумма $n$ чисел по диагонали, идущей из левого нижнего угла в правый верхний, будет неотрицательна.
На плоскости заданы 12 точек, являющихся вершинами четырёх квадратов $A_1B_1A_2C_1$, $A_2C_2A_3B_2$, $A_3B_3A_4C_3$ и $A_4C_4A_1B_4$ (вершины каждого квадрата перечислены по часовой стрелке). Докажите, что $B_1B_2B_3B_4$ и $C_1C_2C_3C_4$ — конгруэнтные параллелограммы, один…