«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Прямоугольный лист бумаги размерами $a \times b$ разрезан на прямоугольные полоски, у каждой из которых одна сторона имеет длину 1. Докажите, что хотя бы одно из чисел $a$ и $b$ — целое.
На плоскости расположено $N$ точек. Отметим все середины отрезков с концами в этих точках. Какое наименьшее количество точек плоскости может оказаться отмеченным?
Существует ли такая последовательность натуральных чисел, что любое натуральное число 1, 2, 3, $\ldots$ можно представить в виде разности двух чисел этой последовательности единственным способом?
На конгрессе собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что никакие двое учёных, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Докажите, что найдётся учёный, у которого ровно один друг.
$N$ гирь, каждая из которых весит целое число граммов, разложены на $K$ равных по весу куч. Докажите, что можно не менее чем $K$ разными способами убрать одну из гирь так, что оставшиеся $(N - 1)$ гири уже нельзя разложить на…
Для каких $n$ существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из $n$ звеньев, что любая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?
На сторонах $A_2A_3$, $A_3A_1$, $A_1A_2$ треугольника $A_1A_2A_3$ построены квадраты с центрами $O_1$, $O_2$, $O_3$, лежащие вне треугольника. Докажите, что:
На доске выписаны числа от 1 до 50. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать одно число — модуль их разности. После повторения указанной процедуры несколько раз на доске остаётся одно число. Какое это может быть число?
Докажите, что если $a$, $b$, $c$, $d$, $x$, $y$, $u$, $v$ — вещественные числа и $abcd\gt0$, то $$ \begin{gathered} (ax+bu)(av+by)(cx+dv)(cu+dy)\ge\\ \ge(acuvx+bcuxy+advxy+bduvy)(acx+bcu+adv+bdy). \end{gathered} $$
Сечения выпуклого многогранника тремя параллельными плоскостями $p_0$, $p_1$ и $p_2$ ($p_1$ расположена между $p_0$ и $p_2$ на одинаковом расстоянии $h$ от той и другой) имеют площади $S_0$,…