«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Можно ли расставить числа $1$, $2$, $3$, $\ldots$, $n$ в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, поставленных между ними?
Даны две окружности радиусов $R$ и $r$, касающиеся внешним образом. Строятся различные трапеции $ABCD$ так, чтобы каждая из окружностей касалась обеих боковых сторон и одного из оснований трапеции. Найдите наименьшую возможную длину длину боковой…
На отрезке $0 \le x \le 1$ задана функция $f$. Известно, что эта функция неотрицательна и $f(1) = 1$. Кроме того, для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 \ge 0$, $x_2 \ge 0$ и $x_1 + x_2 \le 1$, выполнено…
Найдите наименьшее число вида
где $k$ и $l$ — натуральные числа.
Дан квадрат $ABCD$. Точки $P$ и $Q$ лежат соответственно на сторонах $AB$ и $BC$, причём $BP = BQ$. Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на отрезок…
Задано несколько красных и несколько синих точек. Некоторые из них соединены отрезками. Назовём точку «особой», если более половины из соединённых с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Если есть хотя бы одна особая точка, то выбирается любая особая точка и перекрашивается в другой…
На $n$ карточках, выложенных по окружности, записаны числа, каждое из которых равно $+1$ или $-1$. За какое наименьшее число вопросов можно наверняка определить произведение всех $n$ чисел, если за один вопрос разрешается узнать
Дан треугольник $ABC$ площади 1. Пусть $A_1$, $B_1$ и $C_1$, — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Какую минимальную площадь может иметь общая часть треугольников $A_1B_1C_1$, и…