«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
$n$ отрезков $A_1B_1$, $A_2B_2$, $\ldots$, $A_nB_n$ (рис. 1) расположены на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных прямых, оканчивается на другой прямой, и проходит через точку $G$ (не лежащую на…
Даны два набора из $n$ вещественных чисел: $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ и $b_1$, $b_2$, $\ldots$, $b_n$. Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий:
Предлагается построить $N$ точек на плоскости так, чтобы все попарные расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для каждых двух точек $M_i$, $M_j$ известно, чему должно равняться расстояние $|M_iM_j|=r_{ij}$ (здесь $i$ и…
На плоскости даны две прямые $m$ и $n$ и точка $O$. Постройте треугольник, две высоты которого лежат на данных прямых $m$ и $n$, а центр описанной окружности находится в точке $O$.
Квадрат $6 \times 6$ нужно заполнить 12 плитками, из которых $k$ имеют форму уголка, а остальные $12-k$ — прямоугольника (см. рис. 1). При каких $k$ это возможно?
В выпуклый $n$-угольник $A_1A_2\ldots A_n$ вписан $n$-угольник $B_1B_2\ldots B_n$, площадь которого равна $P$ (вершина $B_i$ лежит нa стороне $A_iA_{i+1}$ для $i=1$, 2, $\ldots$, $n-1$, а вершина…
На рёбрах $A'D'$ и $C'D'$ куба $ABCDA'B'C'D'$ выбирают две точки $K$ и $M$ так, что плоскость $KDM$ касается шара, вписанного в куб (рис. 3). Докажите, что величина $\phi$ двухгранного угла при ребре…
Дано $n$ фишек нескольких цветов, причём фишек каждого цвета не более $\dfrac n2$. Докажите, что их можно расставить на окружности так, чтобы никакие две фишки одинакового цвета не стояли рядом.