«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
На 44 деревьях, расположенных по окружности, сидели 44 весёлых чижа (на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях (один — по часовой стрелке, другой — против, см. рис. 1). Докажите, что чижи никогда не…
Какие четырёхугольники можно разрезать прямой линией на два подобных между собой четырёхугольника?
Докажите, что если разность между наибольшим и наименьшим из $n$ вещественных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ равна $d$, а сумма модулей всех $\dfrac{n(n-1)}{2}$ попарных разностей этих…
У выпуклого белого многогранника некоторые грани покрашены чёрной краской так, что никакие две черные грани не имеют общего ребра (рис. 2). Докажите, что если выполнено хотя бы одно из следующих условий:
Квадратная таблица размером $n\times n$ заполнена неотрицательными числами так, что как сумма чисел любой строки, так и сумма чисел любого столбца равна 1. Докажите, что из таблицы можно выбрать $n$ положительных чисел, никакие два из которых не стоят ни в одном…
Докажите, что многочлен $p(x)$ с целыми коэффициентами, который при трёх различных целых значениях $x$ принимает значение 1, не может иметь ни одного целого корня.
Крестьянин, подойдя к развилке двух дорог, расходящихся под углом в $60\degree$, спросил: «Как пройти в село $NN$?» Ему ответили: «Иди по левой дороге до деревни $N$ — это в восьми верстах отсюда, — там увидишь, что направо под прямым углом отходит большая…
а) Докажите, что для любой точки $M$ окружности, описанной около правильного треугольника $ABC$, один из трёх отрезков $MA$, $MB$, $MC$ равен сумме двух других.
б) Три равные окружности $\gamma_1$,…
В бесконечной цепочке нервных клеток каждая клетка может находиться в одном из двух состояний: «покой» и «возбуждение». Если в данный момент клетка возбудилась, то она посылает сигнал, который через единицу времени (скажем, через одну миллисекунду) доходит до обеих соседних с ней клеток. Каждая…
Можно ли разбить правильный треугольник на миллион выпуклых многоугольников так, чтобы любая прямая пересекала не более сорока из этих многоугольников? (Мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если она имеет с ним хотя бы одну общую точку.)