«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Докажите, что для любых $n$ вещественных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ найдётся такое натуральное $k\le n$, что каждое из $k$ чисел $a_k$, $\dfrac{a_{k-1}+a_k}2$, $\dfrac{a_{k-2}+a_{k-1}+a_k}3$,…
Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что расстояния от точки $E$ до прямых $AB$, $BC$ и $CD$ равны соответственно $p$, $q$, $r$. Найдите расстояние от точки…
Найдите все натуральные числа $m$, для которых $$ 1!\cdot3!\cdot5!\cdot\ldots\cdot(2m-1)!=\left( \frac{m(m+1)}{2} \right)! $$ (через $n!$ обозначается произведение $1\cdot2\cdot\ldots\cdot n$).
Дан треугольник $ABC$. Найдите внутри него точку $O$, обладающую следующим свойством: для любой прямой, проходящей через точку $O$ и пересекающей стороны треугольника $AB$ в точке $K$ и $BC$ в точке…
Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел, обладающая следующим свойством:
Ни одно из этих чисел не делится на другое, но среди каждых трёх чисел можно выбрать два, сумма которых…
Многоугольник, описанный вокруг окружности радиуса $r$, каким-то образом разрезан на треугольники. Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше $r$.
Для каждого натурального числа $n$ обозначим через $s(n)$ сумму его цифр (в десятичной записи). Назовём натуральное число $m$ особым, если его нельзя представить в виде $m=n+s(n)$, где $n$ — какое-то натуральное число.…
Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.
Какое наибольшее число точек можно разместить
так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был…