«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что четыре точки, в которых биссектрисы углов между продолжениями противоположных сторон вписанного четырёхугольника пересекают его стороны, являются вершинами ромба (рис. 1).
Пусть по окружности выписано $n$ чисел $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$, каждое из которых равно $(+1)$ или $(—1)$, причём сумма $n$ попарных произведений соседних чисел равна $0$ (как в задаче…
Дан треугольник $ABC$. Сколько существует таких точек $D$, что периметры четырехугольников $ADBC$, $ABDC$ и $ABCD$ одинаковы?
В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду. При этом, если кузнечик $A$ прыгает через кузнечика $B$, то после прыжка он оказывается от $B$ на том же расстоянии (но, естественно, по другую сторону и на той же прямой; рис. 1).…
В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма — число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее — 1973 раза (рис. 1). Сколько раз будет написано число 1973?
Около окружности описан многоугольник. Точки касания его сторон с окружностью служат вершинами второго, вписанного в эту окружность многоугольника. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки $M$ окружности до сторон одного многоугольника равно…
Может ли случиться, что ряд $a_1+a_2+a_3+\ldots$ сходится, а ряд $a_1^3+a_2^3+a_3^3+\ldots$ —…
Для каких положительных чисел $a$ верно следующее утверждение: для любой функции $f$, определенной на отрезке $[0,1]$, непрерывной в каждой точке этого отрезка и такой, что $f(0)=f(1)=0$, уравнение $f(x+a)-f(x)=0$ имеет решение?
Докажите, что центры всех эллипсов, вписанных в данный четырехугольник, лежат на прямой, проходящей через середины диагоналей этого четырехугольника.
Система прямоугольников из $n$ этажей (рис. 2) построена следующим образом. Начиная с нижнего прямоугольника, образующего первый этаж, верхняя сторона каждого прямоугольника делится в отношении $1 : 2 : 3$; на трех полученных отрезках как на основаниях строятся…