«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Выберем на высоте $BH$ треугольника $ABC$ произвольную точку $P$. Пусть $K$ — точка пересечения прямых $AP$ и $BC$, $L$ — точка пересечения прямых $CP$ и $AB$. Докажите,…
а) Докажите, что нельзя занумеровать рёбра куба числами $1$, $2$, $\ldots$, $12$ так, чтобы для каждой вершины сумма номеров трёх выходящих из неё рёбер была одной и той же.
б)* Можно ли вычеркнуть одно из чисел $1$,…
Найдите наименьшее натуральное число $n$, для которого выполняется следующее условие: если $n$ делится на $p-1$ и $p$ простое, то $n$ делится на $p$.
Найдите необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять числа $a$, $b$, $\alpha$, $\beta$, чтобы прямоугольник $a\times b$ можно было разрезать на несколько прямоугольников $\alpha\times\beta$.
Например, можно ли…
$A$ обещает платить $B$ в среднем $\sqrt{2}$ руб. в день. Они условились, что в $n$-й день $A$ будет получать целое число $a_n$ рублей ($a_n$ равно 1 или 2) с таким расчётом, чтобы сумма, полученная за…
Докажите, что если четырёхугольник $ABCD$, вписанный в окружность, таков, что касательные к окружности в точках $A$ и $C$ пересекаются на продолжении диагонали $BD$, то
Последовательность $x_0$, $x_1$, $x_2$, $\ldots$ определяется следующими условиями: $x_0=1$, $x_1=\lambda$, для любого $n\gt1$ $$ (\alpha+\beta)^n x_n=\alpha^n x_n x_0+\alpha^{n-1}\beta x_{n-1} x_1+\alpha^{n-2}\beta^2 x_{n-2} x_2+\ldots+\beta^n x_0 x_n. $$ Здесь $\lambda$, $\alpha$, $\beta$ — заданные…
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$. Докажите, что
Из чисел 1, 2, $\ldots$, $k$ составляются всевозможные наборы $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ длины $n$ (легко видеть, что их $k^n$). Выбраны два подмножества $P$ и $Q$ таких наборов (один и тот же набор может входить и в…