«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
На плоскости даны две пересекающиеся окружности. Точка $A$ — одна из двух точек пересечения этих окружностей. В каждой окружности проведён диаметр, параллельный касательной в точке $A$ к другой окружности, причём эти диаметры не пересекаются. Докажите, что концы…
Известно, что $f(x)$, $g(x)$ и $h(x)$ — квадратные трёхчлены. Может ли уравнение $f(g(h(x)))=0$ иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?
Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке. Докажите, что эта точка, основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении $2:1$, считая от вершин, лежат на одной сфере.
Даны многочлены $P(x)$ и $Q(x)$, у которых старшие коэффициенты равны 1. Докажите, что сумма квадратов коэффициентов многочлена $P(x)Q(x)$ не меньше суммы квадратов свободных членов $P(x)$ и $Q(x)$.
В парламент выбрано 256 депутатов. Каждый из них ответил на 8 вопросов анкеты (требующих ответов «да» или «нет») и выяснилось, что никакие двое не ответили одинаково на все вопросы. Можно ли их рассадить на 256 стульев, расставленных в квадрате $16\times16$ так, чтобы ответы каждого…
Докажите, что для любых натуральных $m$, $d$, $k$ найдётся натуральное $n$ такое, что $$ \left(\sqrt{m}+\sqrt{m+d}\right)^k=\sqrt{n}+\sqrt{n+d^k}. $$
Рассмотрим последовательность $a_1=1$, $a_2=2$, $a_3=3$, $a_4=4$, $a_5=5$, $a_6=119$, $a_{n+1}=a_1a_2\ldots a_n-1$ при $n\ge 5$. Докажите, что $$ a_1^2+a_2^2+\ldots+a_{70}^2=a_1a_2\ldots a_{70}. $$
Пусть $P$ — точка пересечения диагоналей описанного четырёхугольника $ABCD$. Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники $ABP$, $BCP$, $CDP$, $DAP$, лежат на одной окружности.
Пусть $A$, $B$, $C$ и $D$ — четыре различные точки на прямой, расположенные в указанном порядке. Окружности с диаметрами $AC$ и $BD$ пересекаются в точках $X$ и $Y$. Прямые…