«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
На сторонах треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены квадраты $ABMN$, $BCKL$, $ACPQ$. На отрезках $NQ$ и $PK$ построены квадраты $NQZT$ и $PKXY$. Найдите разность площадей квадратов…
Даны два непересекающихся круга и точка $P$ такая, что четыре касательные $PA$, $PB$, $PC$, $PD$, проведённые из неё к двум кругам, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$ совпадает с…
Докажите, что существует бесконечно много троек чисел $n-1$, $n$, $n+1$ таких, что:
$A$ и $B$ — две данные точки окружности. Найдите геометрическое место середин хорд этой окружности, пересекающих отрезок $AB$.
Игра происходит на квадратной шахматной доске $n\times n$. Двое поочерёдно передвигают по доске ладью, при этом не разрешается, чтобы ладья стала на поле или прошла через поле, на котором она уже побывала (или через которое уже проходила). Вначале ладья стоит в углу доски. Проигравшим…
Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
В некотором государстве человек может быть зачислен в гвардию только в том случае, если он выше ростом, чем 80 % (или больше) его соседей. Чтобы доказать своё право на зачисление в гвардию, человек сам называет число $R$ (радиус), после чего его «соседями» считаются все,…
Дан выпуклый многоугольник, никакие две стороны которого не параллельны. Для каждой из его сторон рассмотрим угол, под которым она видна из вершины, наиболее удалённой от прямой, содержащей эту сторону. Докажите, что сумма всех таких углов равна $180^\circ$.
Можно ли прямоугольник $5\times7$ покрыть уголками из трёх клеток (т. е. фигурками, которые получаются из квадрата $2\times2$ удалением одной клетки), не выходящими за его пределы, в несколько слоёв так, чтобы каждая клетка прямоугольника была покрыта одинаковым числом клеток,…
Докажите, что если числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_m$ отличны от нуля и для любого целого $k=0$, 1, $\ldots$, $n$ ($n\lt m-1$) $$ a_1+a_2\cdot2^k+a_3\cdot3^k+\ldots+a_m\cdot m^k=0, $$ то в последовательности $a_1$,…