Покажем, что если целые числа $x_1$, $\dots $, $x_n$ удовлетворяют равенствам из условия задачи, то среди них найдутся одинаковые.
Мы используем такую лемму: если $P(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами, $b$ и $c$ — различные целые числа, то $P(b)-P(c)$ делится на $b-c$. При этом будет выполняться неравенство $|b-c|\le|P(b)-P(c)|$; только это следствие и понадобится для решения задачи.
Поскольку $P(x_1)=x_2$, $P(x_2)=x_3$, по лемме $|x_1-x_2|\le|x_2-x_3|$; точно также, пройдя по всему циклу, получим
$$
|x_1-x_2|\le|x_2-x_3|\le|x_3-x_4|\le\ldots\le|x_n-x_1|\le|x_1-x_2|,
$$
а значит, $|x_1-x_2|=|x_2-x_3|=\ldots=|x_n-x_1|$.
Если $n\ge3$, отсюда следует, что среди чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ найдутся равные: можно считать, что $x_1$ — наименьшее из этих чисел; тогда
$$
x_2-x_1=|x_1-x_2|=|x_n-x_1|=x_n-x_1,
$$
т. е. $x_n=x_2$.
Доказательство леммы. Из равенства
$$
\dfrac{b^k-c^k}{b-c}=b^{k-1}+b^{k-2}c+b^{k-3}c^2+\ldots+c^{k-1}
$$
ясно, что число $b^k-c^k$ при любом натуральном $k$ делится на $b-c$. Пусть
$$
P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n;
$$
тогда число
$$
P(b)-P(c)=a_1(b-c)+a_2(b^2-c^2)+\ldots+a_n(b^n-c^n)$$
также делится на $b-c$.
