Савин Анатолий Павлович / Авторы задач / Задачи // Архив журнала «Квант»

Условия задач‍‍

Задача М91
Двое играют в «крестики» и «нолики» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Начинающий ставит крестик в любую клетку. Каждым следующим своим ходом он должен ставить крестик в любую свободную клетку, соседнюю с одной из клеток, где уже стоит крестик; соседней с данной клеткой считается любая,…
Задача М258
На плоскости даны три точки $K$‍,‍ $L$‍,‍ $N$‍.‍ Про четырёхугольник известно, что он выпуклый и что середины некоторых трёх его сторон лежат в данных точках $K$‍,‍ $L$‍,‍ $N$‍.‍ Найдите множества точек, в которые может…
Задача М318
В треугольнике $ABC$‍‍ проведены биссектрисы $[AD]$‍‍ и $[CE]$‍.‍ Докажите, что $|CE|\cdot|AB|=|AD|\cdot|BC|$‍‍ тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из двух условий:
1. $|AB|=|BC|$‍;‍
2. $\widehat{ABC}=60^\circ$‍.‍
Задача М349
Какому условию должны удовлетворять длины сторон треугольника, чтобы треугольник, составленный из
1. высот,
2. медиан,
3. биссектрис данного треугольника,
был подобен данному?
Задача М399
На отрезке длины 7 можно поставить пять точек (см. рис. 3) так, чтобы для любого $m=1$‍,‍ 2, $\ldots$‍,‍ 7 нашлись две из этих пяти точек на расстоянии $m$‍.‍

Попробуйте выяснить, какое наименьшее число $k_n$‍‍ точек нужно поставить на…
Задача М404
На полке стоят первые $n$‍‍ томов энциклопедии. С ними можно проводить следующую операцию: взять любые три рядом стоящих тома и поставить их между любыми двумя томами, а также в начало или в конец ряда, не меняя при этом порядка этих трёх томов. Можно ли, применив несколько раз…
Задача М482
Сечение правильного тетраэдра — четырёхугольник. Докажите, что периметр этого четырёхугольника больше $2a$‍,‍ но меньше $3a$‍;‍ где $a$‍‍ — длина ребра тетраэдра.
Задача М693
В некотором посёлке 1000 жителей. Ежедневно каждый из них делится узнанными вчера новостями со всеми своими знакомыми. Известно, что любая новость становится известной всем жителям посёлка. Докажите, что можно выбрать 90 жителей так, что если одновременно всем им сообщить какую-то…
Задача М706
Из центра каждой из двух данных окружностей проведены касательные к другой окружности. Докажите, что хорды, соединяющие точки пересечения касательных с окружностями (на рисунке 1 эти хорды показаны красным цветом), имеют одинаковые длины.
Задача М784
Шарообразная планета движется по окружности вокруг звезды и вращается вокруг своей оси, причём ось суточного вращения наклонена к плоскости орбиты под углом $\alpha$‍‍ (для нашей Земли $\alpha=66{,}5^\circ$‍).‍ Найдите зависимость продолжительности $T$‍‍ самого короткого дня в году…
Задача М803
Сумма двух рациональных чисел $x$‍‍ и $y$‍‍ — натуральное число, сумма обратных к ним чисел $\dfrac1x$‍‍ и $\dfrac1y$‍‍ — тоже натуральное число. Какими могут быть $x$‍‍ и $y$‍?‍
Задача М899
Назовём округлением нецелого числа $x$‍‍ замену его на одно из двух ближайших целых чисел ($[x]$‍‍ или $[x]+1$‍).‍
1. Докажите, что в любом равенстве $$ x_1+x_2+\ldots+x_m=y_1+y_2+\ldots+y_n $$ все нецелые слагаемые можно округлить так что…
Задача М961
На стороне $AB$‍‍ квадрата $ABCD$‍‍ взята точка $E$‍,‍ а на стороне $CD$‍‍ — точка $F$‍,‍ причём $AE:EB=1:2$‍,‍ $CF=FD$‍.‍ Будут ли голубой и розовый треугольники (рис. 1) подобны?
Задача М1006
Через две вершины треугольника проведены две прямые, разбивающие его на три треугольника и четырёхугольник.
1. Могут ли площади всех четырёх частей быть равными?
2. Какие три из этих частей могут иметь равные площади? Во сколько раз отличается от них…
Задача М1038
1. Докажите, что если произведение $mn$‍‍ делится на 6 (где $m$‍‍ и $n$‍‍ — целые числа, большие 1), то прямоугольник $m\times n$‍‍ клеток можно разрезать на уголки из трёх клеток.
При каких…
Задача М1082
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$‍‍ диагонали пересекаются в точке $O$‍.‍ Докажите, что равенство $$ AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(AO^2+BO^2+CO^2+DO^2) $$ выполнено тогда и только тогда, когда либо диагонали $AC$‍‍ и $BD$‍‍ перпендикулярны, либо одна из них делится точкой…
Задача М1226
Если квадрат повернуть относительно его центра на $45^\circ$‍,‍ то полученный квадрат разделит стороны первоначального в некотором отношении. Возьмём произвольный выпуклый четырёхугольник, разделим его стороны в том же отношении и через точки деления проведём прямые, образующие новый…
Задача М1302
Текст задачи готовится
Задача М1308
Текст задачи готовится
Задача М1472
При каких натуральных $n\gt 1$‍‍ в таблице можно выбрать $n$‍‍ разных чисел в разных строках и разных столбцах? $$ \begin{array}{cccccc} 1&2&3&\ldots&n-1&n\\ n&1&2&\ldots&n-2&n-1\\ n-1&n&1&\ldots&n-3&n-2\\ &&&\mathclap{~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.}&&\\ 2&3&4&\ldots&n&1 \end{array} $$
Задача М1623
Текст задачи готовится
Задача М2493
Текст задачи готовится

Решения задач‍‍

Задача М351
Восстановите треугольник, если на плоскости отмечены три точки: $O$‍‍ — центр описанной окружности, $P$‍‍ — центр тяжести и $H$‍‍ — основание одной из высот этого треугольника.
Задача М361
Двое играют в следующую игру. На клетчатой бумаге выделяется прямоугольник $m\times n$‍‍ клеток. Каждый по очереди вычёркивает все клетки какого-нибудь горизонтального или вертикального ряда, в котором ещё есть невычеркнутые клетки. Выигрывает тот, кто вычеркивает последние…
Задача М502
Даны три параллельных отрезка $AA_1$‍,‍ $BB_1$‍,‍ $CC_1$‍,‍ не лежащих в одной плоскости. Пусть $M$‍‍ — точка пересечения плоскостей $ABC_1$‍,‍ $BCA_1$‍‍ и $CAB_1$‍,‍ а $M_1$‍‍ — точка пересечения плоскостей…
Задача М591
Пусть $p$‍‍ и $q$‍‍ — натуральные числа такие, что $$ \frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}. $$ Докажите, что число $p$‍‍ делится на 1979.
Задача М594
Найдите все действительные числа $a$‍,‍ для которых существуют действительные неотрицательные числа $x_1$‍,‍ $x_2$‍,‍ $x_3$‍,‍ $x_4$‍,‍ $x_5$‍,‍ удовлетворяющие соотношениям $$ \textstyle\sum\limits_{k=1}^5kx_k=a,\quad \sum\limits_{k=1}^5k^3x_k=a^2,\quad \sum\limits_{k=1}^5k^5x_k=a^3. $$
Задача М596
Дана пятиугольная призма с основаниями $A_1A_2A_3A_4A_5$‍‍ и $B_1B_2B_3B_4B_5$‍.‍ Все рёбра оснований и все отрезки $A_iB_j$‍‍ ($i,\ j=1$‍,‍ 2, 3, 4, 5) окрашены либо в красный, либо в зелёный цвет так, что в каждом треугольнике с вершинами в вершинах призмы, стороны которого окрашены,…
Задача М598
Даны плоскость $\pi$‍,‍ точка $P$‍‍ на этой плоскости и точка $Q$‍‍ вне плоскости $\pi$‍.‍ Найдите все точки $P$‍‍ в плоскости $\pi$‍,‍ для которых отношение $$ \dfrac{|PQ|+|PR|}{|QR|} $$ максимально.
Задача М617
Внутри треугольника расположены окружности $\alpha$‍,‍ $\beta$‍,‍ $\gamma$‍,‍ $\delta$‍‍ одинакового радиуса так, что каждая из окружностей $\alpha$‍,‍ $\beta$‍,‍ $\gamma$‍‍ касается двух сторон треугольника и окружности $\delta$‍‍…
Задача М776
На диагоналях $AC$‍‍ и $CE$‍‍ правильного шестиугольника $ABCDEF$‍‍ взяты точки $M$‍‍ и $N$‍‍ соответственно, такие что $$ \dfrac{|AM|}{|AC|}=\dfrac{|CN|}{|CE|}=\lambda. $$ Известно, что точки $B$‍,‍ $M$‍‍ и $N$‍‍ лежат на одной…
Задача М777
Дано уравнение $x^3-3xy^2+y^3=n$‍.‍ Докажите, что
1. если натуральное $n$‍‍ таково, что данное уравнение имеет целочисленное решение, то оно имеет по меньшей мере три целочисленных решения;
2. при $n=2891$‍‍ это уравнение не имеет…
Задача М778
Дан неравнобедренный треугольник $A_1A_2A_3$‍.‍ Пусть $a_i$‍‍ — его сторона, лежащая против вершины $A_i$‍‍ ($i=1$‍,‍ 2, 3), $M_i$‍;‍ — середина стороны $a_i$‍,‍ $T_i$‍‍ — точка касания стороны с окружностью, вписанной в данный…
Задача М779
Рассматриваются последовательности $\{x_n\}$‍‍ положительных чисел, удовлетворяющих условию $$ 1=x_0 \ge x_1\ge x_2\ge\ldots\ge x_n\ge\ldots $$
1. Докажите, что для любой такой последовательности $\{x_n\}$‍‍ существует $n$‍,‍ при котором…
Задача М780
Дан квадрат $K$‍‍ со стороной 100. Пусть $L$‍‍ — несамопересекающаяся незамкнутая ломаная, лежащая в $K$‍,‍ такая, что для любой точки $P$‍‍ границы квадрата $K$‍‍ найдётся точка ломаной $L$‍,‍ расстояние которой от…
Задача М783
1. При каком наибольшем $n$‍‍ система неравенств $$ \left\{\begin{array}{l} 1 \lt x \lt 2,\\ 2 \lt x^2 \lt 3,\\ 3 \lt x^3 \lt 4,\\ {\ldots}\,{\ldots}\,{\ldots}\,{\ldots}\\ n \lt x^n \lt n+1, \end{array} \right. $$ имеет решения?
2. Для каких $n$‍‍ существуют такие две прогрессии — арифметическая $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $a_3$‍,‍ $\ldots$‍,‍…
Задача М897
Найдите хотя бы одну пару целых чисел $(x,y)$‍‍ такую, что число $$ (x+y)^7-x^7-y^7 $$ делится на $7^7$‍,‍ а число $(x+y)xy$‍‍ не делится на 7.
Задача М898
Для нечётных натуральных чисел $a\lt b\lt c\lt d$‍‍ выполнены условия: $ad=bc$‍;‍ $a+d=2^k$‍‍ и $b+c=2^m$‍,‍ где $k$‍‍ и $m$‍‍ — некоторые натуральные числа. Докажите, что
1. $a=1$‍;‍
2. для каждого…
Задача М960
Если разность между кубами двух последовательных натуральных чисел — квадрат некоторого натурального числа $n$‍,‍ то число $n$‍‍ представляется в виде суммы квадратов двух последовательных натуральных чисел.
1. Докажите это…
Задача М1017
Каждой вершине правильного пятиугольника приписано некоторое целое число так, что сумма всех пяти чисел положительна. Разрешается проделать следующую операцию: если трём последовательным вершинам приписаны числа $x$‍,‍ $y$‍,‍ $z$‍‍ и $y\lt0$‍,‍ то эти…
Задача М1019
На листе клетчатой бумаги отмечено некоторое конечное множество $M$‍‍ узлов (точек пересечения линий сетки). Докажите, что всегда можно окрасить некоторые точки множества $M$‍‍ в белый цвет, а остальные — в красный так, чтобы на каждой линии сетки разность между числом…

Анатолий Павлович Савин‍1932—1998‍41

Условия задач‍‍

Решения задач‍‍