«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Последовательность $x_n$ задаётся условиями: $$ x_1=2;\quad x_{n+1}=\dfrac{2+x_n}{1-2x_n}\quad (n=1{,}~2{,}~3{,}~\ldots). $$ Докажите, что
Оросительная установка, расположенная в точке $O$, обслуживает круг радиуса 100 м с центром $O$. Такими установками нужно полностью орошать квадратное поле $1~\text{км}\times1~\text{км}$.
На однокруговый шахматный турнир приехало $n$ шахматистов из страны $A$ и $n$ шахматистов из страны $B$. Оказалось, что как бы ни разбить шахматистов на пары (чтобы друг с другом играли шахматисты разных стран), найдётся хотя бы одна…
Пусть $A$ — одна из точек пересечения двух окружностей с центрами $O_1$ и $O_2$, $P_1P_2$ и $Q_1Q_2$ — общие касательные, $M_1$ и $M_2$ — cepeдины хорд $P_1Q_1$ и $P_2Q_2$ этих окружностей…
Пусть $a$, $b$, $c$ — целые положительные числа, каждые два из которых взаимно просты. Докажите, что наибольшее из целых чисел, не представимых в виде $$ xbc+yca+zab $$ (где $x$, $y$, $z$ — неотрицательные…
Все точки, лежащие на сторонах правильного треугольника $ABC$, разбиты на два множества $E_1$ и $E_2$. Верно ли, что для любого такого разбиения в одном из множеств $E_1$ и $E_2$ найдётся тройка вершин прямоугольного…
Можно ли выбрать 1983 натуральных числа, не превосходящих $10^5$, так, чтобы среди выбранных чисел не было ни одной тройки чисел, составляющих арифметическую прогрессию (т. е. ни одной тройки $a$, $b$, $c$, в которой $a+c=2b$)?
Докажите, что произведение длин отрезков, на которые гипотенуза прямоугольного треугольника делится точкой касания вписанной в него окружности, равно площади этого треугольника.