«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что для любых положительных чисел $a$, $b$, $c$, $d$ верно неравенство
Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного ими шестиугольника равна половине площади треугольника.
Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а длины его сторон — целые числа. Докажите, что эти числа — 3, 4 и 5.
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известны величины двух углов $\angle A=\alpha$ и $\angle B=\beta$, а его удвоенная площадь равна ${AB}\cdot{CD}+{BC}\cdot{AD}$. Найдите отношение длин всех его сторон $AB:BC:CD:DA$, если
Докажите, что уравнение $$ \sin^px+\cos^qx=1, $$ где $p$ и $q$ — положительные числа, имеет решение на интервале $0\lt x\lt \dfrac{\pi}{2}$ тогда и только тогда, когда $(p-2)(q-2)\lt0$ или $p=q=2$.
Докажите, что площадь проекции куба с ребром 1 на любую плоскость численно равна длине его проекции на прямую, перпендикулярную этой плоскости.
Каждые две из $n$ точек (никакие три из которых не лежат на одной прямой) соединены отрезком, и на всех отрезках расставлены стрелки. Треугольник $ABC$ с вершинами в данных точках называется ориентированным, если стрелки расставлены в направлениях $AB$,…