«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что для любого тетраэдра имеет место неравенство $$ r\lt\dfrac{ab}{2(a+b)}, $$ где $a$, $b$ — длины двух скрещивающихся рёбер, а $r$ — радиус вписанного шара.
Какое наибольшее число узлов клетчатой бумаги может содержать прямоугольник площадью:
стороны которого идут по линиям сетки?
(Считаются узлы, лежащие внутри и на границе прямоугольника.…
Дан произвольный треугольник. Докажите, что
Назовём $k$-звездой фигуру на плоскости, состоящую из $k$ лучей с общим началом, разбивающих плоскость на $k$ равных углов $\Big($по $\dfrac{360^\circ}k\Big)$. При каких $k\gt2$ верно следующее утверждение: для любых…
Дан треугольник $ABC$. Две прямые, симметричные прямой $AC$ относительно прямых $AB$ и $BC$ соответственно, пересекаются в точке $K$. Докажите, что прямая $BK$ проходит через центр описанной окружности треугольника…
Решите систему: $$ \left\{ \begin{array}{l} (x_3+x_4+x_5)^5=3x_1,\\ (x_4+x_5+x_1)^5=3x_2,\\ (x_5+x_1+x_2)^5=3x_3,\\ (x_1+x_2+x_3)^5=3x_4,\\ (x_2+x_3+x_4)^5=3x_5. \end{array} \right. $$
Прямой угол разбит на бесконечное число квадратных клеток со стороной единица. Будем рассматривать ряды клеток, параллельные сторонам угла («вертикальные» и «горизонтальные» ряды). Можно ли в каждую клетку записать натуральное число так, чтобы каждый вертикальный и каждый горизонтальный ряд…