«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
В вершинах треугольника $ABC$ восстановлены перпендикуляры $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ к его плоскости по одну сторону от неё, равные по длине соответствующим высотам треугольника. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки пересечения плоскостей…
Для каких $n$ из $n$ уголков, состоящих из четырёх клеток $1\times1$, и некоторого числа прямоугольников $4\times1$ (рис. 1) можно составить центрально-симметричную фигуру (многоугольник на клетчатой бумаге)?
Докажите, что среднее арифметическое длин сторон правильного многоугольника меньше среднего арифметического длин его диагоналей.
Квадрат расчерчен на $n\times n$ клеток. Двое игроков по очереди обводят по одной стороне одной клетки (дважды обводить одну и ту же сторону нельзя). Кто выиграет при правильной игре, если
Из цифр 1, 2, $\ldots$, 7, взятых в разном порядке, составлены семь семизначных чисел. Докажите, что сумма седьмых степеней нескольких из этих чисел не может равняться сумме седьмых степеней остальных чисел.
Через точку пересечения биссектрисы угла $A$ треугольника $ABC$ и отрезка, соединяющего основания двух других биссектрис, проведена прямая, параллельная стороне $BC$. Докажите, что длина меньшего основания образовавшейся трапеции равна полусумме длин её…
Длина стороны квадрата $ABCD$ равна 1. На сторонах $AB$ и $AD$ выбраны точки $P$ и $Q$ так, что периметр треугольника $APQ$ равен 2. Доказать, что $\widehat{PCQ}=45^\circ$.
Пусть $x$, $y$, $z$ — длины сторон треугольника. Докажите, что величина $$ \left|\dfrac{x-y}{x+y}+\dfrac{y-z}{y+z}+\dfrac{z-x}{z+x}\right| $$ меньше: