«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Обозначим через $\sigma (n)$ сумму всех делителей натурального числа $n$. $$ \def\a#1{\enspace\mathclap{#1}\enspace} \def\|{\vphantom{\dfrac12}} \begin{array}{|c|cccccccccccc|} \hline \a{n}&&\a1&\a2&\a3&\a4&\a5&\a6&\a7&\a8&\a9&\a{10}&\|\\ \hline ~\a{\sigma(n)}~&&\a1&\a3&\a4&\a7&\a6&\a{12}&\a8&\a{15}&\a{13}&\a{18}&\|\\ \hline \end{array} $$ Докажите, что существует бесконечно много $n$ таких, что
Точка $P$ расположена внутри квадрата $ABCD$ так, что $|AP|:|BP|:|CP|=1:2:3$. Найдите $\widehat{APB}$.
Известно, что последними цифрами квадратов целых чисел могут быть лишь цифры 0, 1, 4, 5, 6 и 9. Верно ли, что перед последней цифрой в них может встретиться любая группа цифр, т. е. что для любого набора из $n$ цифр $a_1$, $a_2$, $\ldots$,…
На окружности отметили $4k$ точек и раскрасили их попеременно в красный и синий цвета; затем $2k$ красных точек произвольным образом соединили попарно $k$ красными отрезками, а $2k$ синих — $k$ синими отрезками (никакие три…
Докажите, что для любого натурального $n$ выполнено равенство $$ [\sqrt{n}]+[\sqrt[3]{n}]+[\sqrt[4]{n}]+\ldots+[\sqrt[n]{n}]=[\log_2{n}]+[\log_3{n}]+[\log_4{n}]+\ldots+[\log_n{n}] $$ ($[x]$ означает целую часть числа $x$).
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ как на гипотенузах построены вне его прямоугольные треугольники $APB$ и $BQC$ с одинаковыми углами величины $\beta$ при их общей вершине $B$ (см. рис. 1).…
Сумма двух рациональных чисел $x$ и $y$ — натуральное число, сумма обратных к ним чисел $\dfrac1x$ и $\dfrac1y$ — тоже натуральное число. Какими могут быть $x$ и $y$?
Точка $O$ — середина оси прямого кругового цилиндра, $A$ и $B$ — диаметрально противоположные точки окружности нижнего основания цилиндра, $C$ — некоторая точка окружности верхнего основания, не лежащая в плоскости $OAB$.…