«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Два подмножества множества натуральных чисел назовём конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число. (Например, множества чётных и нечётных чисел конгруэнтны.) Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число (непересекающихся) бесконечных…
Для любого ли числа $x \ge1 $ верно равенство $$ \left[\sqrt{\left[\sqrt{x}\right]}\right]=\left[ \sqrt{\sqrt{x}}\right]? $$ (Здесь через $[y]$ обозначена целая часть числа $y$.)
Даны натуральные числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ такие, что $a_k \le k$ $(k=1,2, \ldots,n)$ и сумма $a_1+a_2+\ldots+a_n$ чётна. Докажите, что одно из выражений $$ a_1\pm a_2\pm a_3\pm \ldots \pm a_n $$ равно нулю.
Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренных трапеций с основаниями З см, 1 см и высотой 1 см, нельзя составить прямоугольник.
Будем говорить, что число обладает свойством $(K)$, если оно разлагается в произведение $K$ последовательных натуральных чисел, больших 1.
Точки $C_1$, $A_1$, $B_1$ взяты на сторонах, соответственно, $AB$, $BC$, $CA$ треугольника $ABC$ так, что $$ |AC_1|:|C_1B|=|BA_1|:|A_1C|=|CB_1|:|B_1A|=1:3. $$ Докажите, что периметр $P$ треугольника $ABC$ и…
В некотором посёлке 1000 жителей. Ежедневно каждый из них делится узнанными вчера новостями со всеми своими знакомыми. Известно, что любая новость становится известной всем жителям посёлка. Докажите, что можно выбрать 90 жителей так, что если одновременно всем им сообщить какую-то…
В каждой вершине куба записано число. За один шаг к двум числам, размещённым на одном (любом) ребре, прибавляется по единице. Можно ли за несколько таких шагов сделать все восемь чисел равными между собой, если вначале были поставлены числа, как на рисунке 1? Как на рисунке 2? Как на рисунке…