«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Можно ли все клетки какой-нибудь прямоугольной таблицы окрасить в белый и чёрный цвета так, чтобы белых и чёрных клеток было поровну, а в каждой строке и в каждом столбце было более $\dfrac34$ клеток одного цвета?
Можно ли таблицу $10 \times 10$ клеток заполнить 100 различными натуральными числами так, чтобы для любого квадрата $k \times k$ клеток ($2 \le k \le 10$)
$k$ чисел на его…
Назовём пузатостью прямоугольника отношение его меньшей стороны к большей (пузатость квадрата равна 1). Докажите, что, как бы ни разрезать квадрат на прямоугольники, сумма их пузатостей будет не меньше 1.
На сторонах $a$, $b$, $c$, $d$ вписанного в окружность четырёхугольника «наружу» построены прямоугольники размерами $a\times c$, $b\times d$, $c\times a$, $d\times b$. Докажите, что центры этих прямоугольников…
Полукруг с диаметром $AB$ разрезан отрезком $CD$, перпендикулярным $AB$, на два криволинейных треугольника $ACD$ и $BCD$, в которые вписаны окружности, касающиеся $AB$ в точках $E$ и $F$…
Можно ли множество всех конечных десятичных дробей разбить на а) два, б) три класса так, чтобы в один класс не попали два числа с разностью $10^m$ (ни при каком целом $m=0$, $\pm1$, $\pm2$, $\ldots$)?
Люда, Марина и Наташа нарисовали остроугольный треугольник $LMN$. Затем Люда построила свой треугольник, у которого длины двух сторон равны $|LM|$ и $|LN|$, а угол между ними на $60^\circ$ больше угла $L$ треугольника $LMN$.…
Обозначим через $S_n$ сумму первых $n$ простых чисел: $S_1 =2$, $S_2=2+3=5$, $S_3=2+3+5=10$, $S_4=17$ и т. д. Докажите, что при любом $n$ между $S_n$ и $S_{n+1}$ встречается точный квадрат.
Решите систему уравнений $$\left\{\begin{array}{l} 3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=4\left(y+\dfrac{1}{y}\right)=5\left(z+\dfrac{1}{z}\right),\\ xy+yz+zx=1. \end{array}\right.$$
Вокруг квадрата описан параллелограмм (вершины квадрата лежат на разных сторонах параллелограмма). Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют новый квадрат (рис. 1).