Точки $C_1$, $A_1$, $B_1$ взяты на сторонах, соответственно, $AB$, $BC$, $CA$ треугольника $ABC$ так, что $$
|AC_1|:|C_1B|=|BA_1|:|A_1C|=|CB_1|:|B_1A|=1:3.
$$
Докажите, что периметр $P$ треугольника $ABC$ и периметр $P_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ связаны нeравенствами
$P_1\lt\dfrac34P$;
$P_1\gt\dfrac12P$.
В. Турчанинов
Всесоюзная математическая олимпиада школьников (1981 год, 8 класс)
а) Рассмотрим точки $C_2$, $A_2$, $B_2$, лежащие соответственно на сторонах $AB$, $BC$, $CA$ треугольника $ABC$, такие, что (см. рис. 1)
$$
\dfrac{|AC_2|}{|C_2B|}=\dfrac{|BA_2|}{|A_2C|}=\dfrac{|CB_2|}{|B_2A|}=3.
$$
Рис. 1Рис. 2Рис. 3Рис. 4
В силу неравенства треугольника периметр $P_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ меньше периметра шестиугольника $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$. Поскольку сумма длин противоположных (параллельных) сторон этого шестиугольника равна $\dfrac34$ длины соответствующей стороны треугольника $ABC$, периметр шестиугольника $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ равен $\dfrac34P$. Поэтому $P_1\lt\dfrac34P$.
б) В силу неравенства треугольника (см. рис. 2)
$$
\begin{align*}
|B_1C_1|+|C_1A|&\gt|B_1A|,\\
|C_1A_1|+|A_1B|&\gt|C_1B|,\\
|A_1B_1|+|B_1C|&\gt|A_1C|.
\end{align*}
$$
Складывая эти неравенства, получаем $P_1+\dfrac14P\gt\dfrac34P$, т. е. $P_1\gt\dfrac12P$.
Оценку $P_1\gt\dfrac12P$ можно улучшить. Для этого заметим, что $\dfrac74\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C_1A_1}+2\overrightarrow{C_2B_1}$ (аналогично $\dfrac74\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{A_1B_1}+2\overrightarrow{A_2C_1}$, $\dfrac74\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{B_1C_1}+2\overrightarrow{B_2A_1}$ — проверьте это!). Из этих векторных равенств следуют неравенства для длин векторов:
$$
\begin{align*}
\dfrac74|AC|&\lt|A_1C_1|+2|B_1C_1|,\\
\dfrac74|AB|&\lt|A_1B_1|+2|A_1C_1|,\\
\dfrac74|BC|&\lt|B_1C_1|+2|B_1A_1|;
\end{align*}
$$
складывая их, мы получаем $\dfrac74P\lt3P_1$, или $P_1\gt\dfrac7{12}P$.
Неравенства $\dfrac34P\gt P_1$ и $P_1\gt\dfrac7{12}P$ не улучшаемы.
В самом деле, если взять треугольник $ABC$, у которого вершина $B$ близка к $C$ (см. рис. 3), то $P\approx2|AC|$, а $P_1\approx\dfrac32|AC|$, так что отношение периметров $P_1:P$ будет приблизительно равным $\dfrac34$.
Если же взять треугольник $ABC$ таким, чтобы его вершина $B$ была близка к $\dfrac23$ отрезка $AC$ (см. рис. 4), то по-прежнему $P\approx2|AC|$, но $P_1\approx2|C_1B_1|=2\left(\dfrac34-\dfrac16\right)|AC|=\dfrac7{12}\cdot2|AC|$, и отношение $P_1:P\approx\dfrac7{12}$.
