«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Внутри треугольника $\triangle$ нужно расположить треугольник $\triangle_1$ так, чтобы у каждого из трёх квадратов, построенных на сторонах треугольника $\triangle_1$, две вершины лежали на разных сторонах треугольника $\triangle$ (рис. 1).
Несколько кружков одинакового размера положили на стол так, что никакие два не перекрываются. Докажите, что кружки можно раскрасить в четыре цвета так, что любые два касающихся кружка будут окрашены в разные цвета. Найдите расположение кружков, при котором трёх цветов для такой раскраски…
Двое играют в следующий вариант «морского боя». Один игрок располагает на доске $n\times n$ некоторое количество непересекающихся «кораблей» $n\times 1$ (быть может, ни одного). Второй игрок наносит одновременно ряд ударов по полям доски и про каждое поле получает от противника…
Два подмножества множества натуральных чисел назовём конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число. (Например, множества чётных и нечётных чисел конгруэнтны.) Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число (непересекающихся) бесконечных…
Для любого ли числа $x \ge1 $ верно равенство $$ \left[\sqrt{\left[\sqrt{x}\right]}\right]=\left[ \sqrt{\sqrt{x}}\right]? $$ (Здесь через $[y]$ обозначена целая часть числа $y$.)
Даны натуральные числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ такие, что $a_k \le k$ $(k=1,2, \ldots,n)$ и сумма $a_1+a_2+\ldots+a_n$ чётна. Докажите, что одно из выражений $$ a_1\pm a_2\pm a_3\pm \ldots \pm a_n $$ равно нулю.
Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренных трапеций с основаниями З см, 1 см и высотой 1 см, нельзя составить прямоугольник.