«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Найдите наибольшее натуральное число, в десятичной записи которого каждая цифра (кроме крайних) строго меньше полусуммы двух соседних с ней цифр.
Биссектриса угла $A$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $L$, а описанную окружность треугольника — в точке $N$ (отличной от $A$); $K$ и $M$ — основания…
Пусть $p_n(k)$ — число перестановок множества из $n$ ($n\ge1$) элементов, имеющих ровно $k$ неподвижных точек. Докажите, что:
Примечание.…
Функция $f$ определена на множестве $\N_0$ всех неотрицательных целых чисел и принимает значения в этом множестве. Докажите, что равенство $f(f(n))=n+1987$ не может выполняться для всех $n$ из $\N_0$.
Пусть $n$— натуральное число, $n\ge3$. Можно ли расположить на плоскости $n$ точек так, чтобы расстояние между любыми двумя выражалось иррациональным числом, а площадь треугольника с вершинами в любых трёх — рациональным числом (отличным от нуля)?
Пусть $q$ — натуральное число, $q\ge3$. Докажите, что если $k^2+k+q$ — простое число для всех целых $k$, где $0\le k\le\sqrt{\dfrac q3}$ то $k^2+k+q$ — простое для всех целых $k$, где $0\le k\le q-2$.
Докажите, что предпоследняя цифра числа $3^n$ при любом натуральном $n\gt2$ чётна.
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Докажите, что равенство $$ AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(AO^2+BO^2+CO^2+DO^2) $$ выполнено тогда и только тогда, когда либо диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, либо одна из них делится точкой…
Наибольшее из неотрицательных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ равно $a$.
Две окружности на плоскости пересекаются в точках $A$ и $B$. Докажите, что можно выбрать такую точку $C$, что любая окружность с хордой $AC$ будет пересекать данные окружности (второй раз) в точках, одинаково удалённых от…