«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Какому условию должны удовлетворять длины сторон треугольника, чтобы треугольник, составленный из
был подобен данному?
С белого углового поля шахматной доски размерами $n\times m$ ($n$ и $m$ больше 1) начинает двигаться слон. Дойдя до края доски, слон поворачивает под прямым углом (рис. 2). Попав в угол, он останавливается.
Восстановите треугольник, если на плоскости отмечены три точки: $O$ — центр описанной окружности, $P$ — центр тяжести и $H$ — основание одной из высот этого треугольника.
Пусть $n$ — целое число, для которого $$ n\lt(45+\sqrt{1975})^{30}\lt n+1. $$ Докажите, что $n$ нечётно.
Колба-шар ёмкостью $V = 1~\text{л}$ была откачана и закрыта. На стенках колбы остался мономолекулярный слой воздуха. Оценить давление, которое будет в колбе, нагретой до $300^\circ~\text{C}$, если известно, что при такой температуре стенки колбы полностью обезгаживаются.
Докажите, что если $x+\dfrac1y=y+\dfrac1z=z+\dfrac1x$, то $x=y=z$ или $x^2y^2z^2=1$.
Про последовательность $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ известно, что $|a_1|= 1$ и $|a_{k+1}|=|a_k+1|$ при каждом $k=1$, 2, $\ldots$ Найдите наименьшее возможное значение суммы $|a_1+a_2+\ldots+a_n|$, если:
Поделим каждую сторону выпуклого четырёхугольника $ABCD$ на три равные части и соединим отрезками соответствующие точки на противоположных сторонах (рис. 1). Докажите, что площадь «среднего» четырёхугольника в 9 раз меньше площади четырёхугольника $ABCD$.
Из 16 космонавтов нужно выбрать 4-х — экипаж космического корабля. Тренировки проводятся с 4-мя экипажами по 4 человека в каждом. Можно ли составить расписание тренировок таким образом, чтобы любые два космонавта побывали в одном экипаже ровно один раз?
Может ли случиться, что ряд $a_1+a_2+a_3+\ldots$ сходится, а ряд $a_1^3+a_2^3+a_3^3+\ldots$ —…