В прямоугольнике $ABCD$ точка $M$ — середина стороны $AD$, $N$ — середина стороны $BC$. На продолжении отрезка $DC$ за точку $D$ берётся точка $P$. Обозначим точку пересечения прямых $PM$ и $AC$ через $Q$. Доказать, что $\angle QNM=\angle MNP$.
Ю. В. Михеев
Всесоюзная математическая олимпиада школьников (1972 год, 8 класс)
Задача имеет много простых геометрических решений. Вот одно из них.
Пусть $O$ — центр прямоугольника (см. рис. 1) (точка пересечения $MN$ и $AC$), $K$ — точка пересечения $QN$ с перпендикуляром, восставленным к отрезку $MN$ в его середине $O$. Тогда, как легко видеть, $\dfrac{QM}{MP}=\dfrac{QO}{OC}=\dfrac{QK}{KN}$, и, следовательно, $MK\parallel PN$. Но треугольник $MKN$ равнобедренный: в нём по построению $KO$ — и высота, и медиана. Поэтому $\angle QNM=\angle KMN=\angle MNP$.
Нетрудно решить задачу и с помощью вычислений. Например, можно воспользоваться методом координат. Если ввести систему координат так, как показано на рисунке 2, то координаты $(x_0,y_0)$ точки $Q$ удовлетворяют двум уравнениям:
$$
\begin{aligned}
(p-2b)x-ay&=-2ab&\text{(уравнение прямой \(MP\))}\\
\text{и}\quad bx+ay&=ab&\text{(уравнение прямой \(CA\))}.
\end{aligned}
$$
Умножим второе уравнение на 2 и сложим с первым. Получим (для $x=x_0$, $y=y_0$)
$$
px_0+ay_0=0.
$$
Таким образом, угловой коэффициент прямой $NQ$ равен $\dfrac{y_0}{x_0}=-\dfrac pa$, т. е. с точностью до знака равен угловому коэффициенту $\dfrac pa$ прямой $NP$. Поэтому $\angle QNM=\angle MNP$.
