Задачи, стр. 149 // Архив журнала «Квант»

Задача М2876
Пусть $f_{a,b}(x)=[ax+b]$‍.‍ При каких парах вещественных $a\gt0$‍‍ и $b$‍‍ найдутся такие вещественные $c\gt0$‍‍ и $d$‍,‍ что для всех натуральных $n$‍‍ будет выполнено равенство $f_{c,d}\big(f_{a,b}(n)\big)=n$‍?‍
Задача М2877
Заяц и Волк играют в игру. Волк рисует граф, содержащей более одной вершины, и красит его рёбра в красный и синий цвета. Затем Заяц ставит в какие-то две вершины красную и синюю фишки и выбирает, какая из них достанется ему, а какая — Волку. После этого Заяц и Волк ходят по очереди, за ход игрок…
Задача М2878
По окружности расставлены $2n+1$‍‍ точек, $m$‍‍ из которых покрашены. Набор из $n+1$‍‍ точек, идущих подряд, назовём хорошим, если он содержит больше $\dfrac m2$‍‍ покрашенных точек. Докажите, что количество хороших наборов не меньше…
Задача М2879
Обозначим через $S(k)$‍‍ сумму цифр в десятичной записи натурального числа $k$‍.‍ Докажите, что для любого натурального $n$‍‍ хотя бы одно из чисел $S(7n)$‍‍ и $S(9n)$‍‍ больше $\dfrac {S(n)}5$‍.‍
Задача М2880
На Новый год каждый из $n$‍‍ пользователей криптобиржи подарил некоторым из остальных сколько-то (неотрицательное вещественное число) биткоинов. При этом каждый потратил на подарки не более одного биткоина и получил подарок не более чем на один биткоин. Каждые двое, которые дарили…
Задача М2881
Дан выпуклый многоугольник $A_1A_2\ldots A_n$‍‍ площади $S$‍‍ и точка $O$‍‍ внутри него. Пусть $h_i$‍‍ — расстояние от $O$‍‍ до прямой $A_iA_{i+1}$‍‍ (индексы берутся по модулю $n$‍).‍ Пусть $B_1B_2\ldots B_n$‍‍ — другой выпуклый…
Задача М2882
Петя и Вася играют в игру. В начале игры на столе лежат 1000 куч, состоящих из 1, 2, 3, 4, $\ldots$‍,‍ 999, 1000 спичек соответственно. Ребята ходят по очереди, начинает Петя. Каждый из мальчиков своим ходом может взять любое ненулевое количество спичек из кучи с наибольшим количеством…
Задача М2883
Существует ли такое натуральное число $n$‍,‍ что для каких-то трёх его делителей $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍,‍ больших 1, произведение $(a-1)(b-1)(c-1)$‍‍ делится на $n^2$‍?‍
Задача М2884
В Средиземье 1000 графств, в одном из которых находится волшебное Кольцо. Раз в день Маг может выбрать любое подмножество графств и получить от волшебного Камня ответ, есть ли Кольцо в одном из этих графств. Камень может ошибиться, но никогда не ошибается два дня подряд. Маг может совершать…
Задача М2885
Некоторые рёбра выпуклого многогранника удалось покрасить в красный цвет так, что в каждую вершину входит ровно два красных ребра, причём эти рёбра лежат в одной грани. Кроме того, в каждой грани оказалось не более двух красных рёбер. Сколько вершин может быть в таком многограннике?

Задачник «Кванта»‍1490