«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что существует такое натуральное число $n$, что если правильный треугольник со стороной $n$ разбить прямыми, параллельными его сторонам, на $n^2$ правильных треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать…
На острове Невезения каждый житель либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт, причём правдивых не менее четверти всех жителей. На выборах президента, в которых участвовали все невезенцы, было только два кандидата — Ёлкин и Палкин. На вопрос наблюдателя ООН «за кого вы голосовали?» большинство…
Дано два правильных 10-угольника. В каждой вершине того и другого написано натуральное число, причём сумма чисел на каждом 10-угольнике равна 99. Докажите, что можно отметить на том и другом 10-угольнике несколько подряд стоящих вершин (может быть, одну, но не все) так, что суммы отмеченных…
Среди бесконечного количества гангстеров каждый охотится за каким-то одним из остальных. Докажите, что существует бесконечное подмножество этих гангстеров, в котором ни один не охотится за кем-либо из этого подмножества.
Три шахматиста $A$, $B$ и $C$ сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков $A$ занял первое место, $C$ — последнее, а по числу побед, наоборот,…
В строчку выписано 10 целых чисел. Вторая строчка находится так: под каждым числом $A$ первой строчки пишется число, равное количеству чисел первой строчки, которые больше $A$ и при этом стоят правее $A$. По второй строчке аналогично строится третья…
Дан невыпуклый несамопересекающийся четырёхугольник, который имеет три внутренних угла по $45^\circ$. Докажите, что середины его сторон лежат в вершинах квадрата.
Через $S(n)$ обозначим сумму цифр числа $n$ (в десятичной записи). Существуют ли три различных числа $m$, $n$ и $p$ таких, что $$ m+S(m)=n+S(n)=p+S(p)? $$
Монотонно возрастающая последовательность целых чисел $\{a_n\}$ обладает тем свойством, что для любой пары взаимно простых чисел $p$ и $q$ выполняется равенство: $a_{pq}=a_p a_q$; кроме того, известно, что $a_1=1$, $a_2=2$.