«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
На острове Невезения каждый житель либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт, причём правдивых не менее четверти всех жителей. На выборах президента, в которых участвовали все невезенцы, было только два кандидата — Ёлкин и Палкин. На вопрос наблюдателя ООН «за кого вы голосовали?» большинство…
Дано два правильных 10-угольника. В каждой вершине того и другого написано натуральное число, причём сумма чисел на каждом 10-угольнике равна 99. Докажите, что можно отметить на том и другом 10-угольнике несколько подряд стоящих вершин (может быть, одну, но не все) так, что суммы отмеченных…
Среди бесконечного количества гангстеров каждый охотится за каким-то одним из остальных. Докажите, что существует бесконечное подмножество этих гангстеров, в котором ни один не охотится за кем-либо из этого подмножества.
Три шахматиста $A$, $B$ и $C$ сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков $A$ занял первое место, $C$ — последнее, а по числу побед, наоборот,…
В строчку выписано 10 целых чисел. Вторая строчка находится так: под каждым числом $A$ первой строчки пишется число, равное количеству чисел первой строчки, которые больше $A$ и при этом стоят правее $A$. По второй строчке аналогично строится третья…
Дан невыпуклый несамопересекающийся четырёхугольник, который имеет три внутренних угла по $45^\circ$. Докажите, что середины его сторон лежат в вершинах квадрата.
Через $S(n)$ обозначим сумму цифр числа $n$ (в десятичной записи). Существуют ли три различных числа $m$, $n$ и $p$ таких, что $$ m+S(m)=n+S(n)=p+S(p)? $$
Монотонно возрастающая последовательность целых чисел $\{a_n\}$ обладает тем свойством, что для любой пары взаимно простых чисел $p$ и $q$ выполняется равенство: $a_{pq}=a_p a_q$; кроме того, известно, что $a_1=1$, $a_2=2$.
С натуральным числом проделывается следующая операция: его последняя цифра отделяется, умножается на 4 и прибавляется к оставшемуся числу (скажем, из 1993 получается 211). С полученным числом проделывается то же самое, и т. д. Докажите, что если в полученной последовательности встретилось 1001,…