«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Пусть $n$ и $b$ — натуральные числа. Через $V(n;b)$ обозначим число разложений $n$ в произведение (одного или нескольких) сомножителей, каждый из которых больше $b$ (например: $36=6\cdot6=4\cdot9=3\cdot3\cdot4=3\cdot12$, так что $V(36;2)=5$).…
Пусть в прямоугольном треугольнике $AB$ и $AC$ — катеты, $AC\gt AB$. На $AC$ выбрана точка $E$, а на $BC$ — точка $D$ так, что $AB=AE=BD$. Докажите, что треугольник $ADE$ будет…
$n$ чисел ($n\gt1$) называются близкими, если каждое из них меньше, чем сумма этих чисел, делённая на $n-1$. Пусть $a$, $b$, $c$, $\ldots$ — $n$ близких чисел, $S$ — их сумма.…
Докажите, что если $abc=4Rrr_c$, где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, $R$, $r$, $r_c$ — радиусы описанной, вписанной и одной из вневписанных окружностей, то треугольник прямоугольный. (Вневписанная…
На окружности с центром $O$ расположены точки $A$ и $B$. Точка $P$ находится на меньшей из дуг $AB$, точки $Q$ и $R$ симметричны точке $P$ относительно прямых $OA$ и…
Дана плоскость, пересекающая сферу с центром $O$ по окружности. На сфере по разные стороны от плоскости взяты точки $A$ и $B$, причём радиус $OA$ перпендикулярен данной плоскости. Через прямую $AB$ проводится произвольная…
Докажите, что число $\dfrac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ является составным.
Даны различные квадратные трёхчлены $f(x)$ и $g(x)$, старшие коэффициенты которых равны единице. Известно, что $f(1)+f(10)+f(100)=g(1)+g(10)+g(100)$. При каких $x$ выполнено равенство $f(x)=g(x)$?
Назовём человека малообщительным, если у него менее 10 знакомых. Назовём человека чудаком, если все его знакомые малообщительны. Докажите, что количество чудаков не больше количества малообщительных.
По контуру каждой грани выпуклого многогранника ползает муравей (таким образом, муравьёв столько же, сколько граней), и все они движутся, обходя свою грань по часовой стрелке. Известно, что их скорости в любой момент времени не меньше 1 мм/ч. Докажите, что рано или поздно какие-то два…