«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Круг разбит на $n$ секторов. В некоторых из них стоят фишки; всего фишек $n+1$. Затем позиция подвергается следующим преобразованиям: берутся какие-нибудь две фишки, стоящие в одном секторе, и переставляются в разные стороны в соседние сектора. Докажите, что после…
Пусть $n$ и $b$ — натуральные числа. Через $V(n;b)$ обозначим число разложений $n$ в произведение (одного или нескольких) сомножителей, каждый из которых больше $b$ (например: $36=6\cdot6=4\cdot9=3\cdot3\cdot4=3\cdot12$, так что $V(36;2)=5$).…
Пусть в прямоугольном треугольнике $AB$ и $AC$ — катеты, $AC\gt AB$. На $AC$ выбрана точка $E$, а на $BC$ — точка $D$ так, что $AB=AE=BD$. Докажите, что треугольник $ADE$ будет…
$n$ чисел ($n\gt1$) называются близкими, если каждое из них меньше, чем сумма этих чисел, делённая на $n-1$. Пусть $a$, $b$, $c$, $\ldots$ — $n$ близких чисел, $S$ — их сумма.…
Докажите, что если $abc=4Rrr_c$, где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, $R$, $r$, $r_c$ — радиусы описанной, вписанной и одной из вневписанных окружностей, то треугольник прямоугольный. (Вневписанная…
На окружности с центром $O$ расположены точки $A$ и $B$. Точка $P$ находится на меньшей из дуг $AB$, точки $Q$ и $R$ симметричны точке $P$ относительно прямых $OA$ и…
Дана плоскость, пересекающая сферу с центром $O$ по окружности. На сфере по разные стороны от плоскости взяты точки $A$ и $B$, причём радиус $OA$ перпендикулярен данной плоскости. Через прямую $AB$ проводится произвольная…
Докажите, что число $\dfrac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ является составным.
Даны различные квадратные трёхчлены $f(x)$ и $g(x)$, старшие коэффициенты которых равны единице. Известно, что $f(1)+f(10)+f(100)=g(1)+g(10)+g(100)$. При каких $x$ выполнено равенство $f(x)=g(x)$?
Назовём человека малообщительным, если у него менее 10 знакомых. Назовём человека чудаком, если все его знакомые малообщительны. Докажите, что количество чудаков не больше количества малообщительных.