«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Пусть $A_1$, $A_2$, $A_3$, $\ldots$ — некоторая последовательность точек на плоскости. Начав с некоторой точки $T_0$, построим последовательность $T_1$, $T_2$, $T_3$, $\ldots$, где…
Известно, что все рёбра многогранника $M$ равны между собой и касаются некоторого шара.
Докажите (для любых чисел $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$) неравенство $$\begin{gather*} ax+by+cz+\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)}\ge\\ \ge\frac23(a+b+c)(x+y+z). \end{gather*}$$
Последовательность $x_1$, $x_2$, $\ldots$ такова, что для любых натуральных $m$ и $n$ $$ |x_{m+n}-x_m-x_n|\lt \dfrac1{m+n}. $$ Докажите, что эта последовательность — арифметическая прогрессия.
Дано несколько (не менее двух) ненулевых чисел. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$ и записать вместо них числа $a+\dfrac b2$ и $b-\dfrac a2$. Докажите, что после нескольких таких операций нельзя получить исходный набор чисел.
В треугольнике $ABC$ точка $M$ лежит на стороне $AB$, точка $N$ — на стороне $BC$, $O$ — точка пересечения отрезков $CM$ и $AN$. Известно, что $AM+AN=CM+CN$. Докажите, что…
Назовём словом строчку из 10 цифр 0 и 1. Два слова будем считать синонимами, если одно можно получить из другого несколькими операциями следующего вида: из слова вычёркивается несколько подряд идущих цифр, сумма которых чётна, и на их место вписываются те же цифры, но в…
Докажите, что если уравнение $ax^2+(c-b)x+(e-d)=0$ имеет корень, больший 1, то уравнение $$ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 $$ имеет хотя бы один корень.
Для каких $k$ можно расположить на окружности
дуг так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с $k$ другими?