«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Назовём $k$-звездой фигуру на плоскости, состоящую из $k$ лучей с общим началом, разбивающих плоскость на $k$ равных углов $\Big($по $\dfrac{360^\circ}k\Big)$. При каких $k\gt2$ верно следующее утверждение: для любых…
Дан треугольник $ABC$. Две прямые, симметричные прямой $AC$ относительно прямых $AB$ и $BC$ соответственно, пересекаются в точке $K$. Докажите, что прямая $BK$ проходит через центр описанной окружности треугольника…
Решите систему: $$ \left\{ \begin{array}{l} (x_3+x_4+x_5)^5=3x_1,\\ (x_4+x_5+x_1)^5=3x_2,\\ (x_5+x_1+x_2)^5=3x_3,\\ (x_1+x_2+x_3)^5=3x_4,\\ (x_2+x_3+x_4)^5=3x_5. \end{array} \right. $$
Прямой угол разбит на бесконечное число квадратных клеток со стороной единица. Будем рассматривать ряды клеток, параллельные сторонам угла («вертикальные» и «горизонтальные» ряды). Можно ли в каждую клетку записать натуральное число так, чтобы каждый вертикальный и каждый горизонтальный ряд…
Боковые стороны, диагонали и продолжения оснований трапеции пересекают прямую $l$ в шести точках, т. е. высекают на прямой $l$ пять отрезков.
Рассматривается последовательность слов, состоящая из букв $A$ и $B$. Первое слово в последовательности — «$A$»; $k$-e слово получается из $(k-1)$-го с помощью следующей операции: каждое $A$ заменяется на…
В трапеции $ABCD$ (с основаниями $BC$ и $AD$) на сторонах $AB$ и $CD$ выбраны точки $K$ и $M$. Докажите, что если $\angle BAM=\angle CDK$, то $\angle BMA=\angle CKD$.
Микрокалькулятор «Чебурашка» умеет складывать, вычитать и находить по данному числу $x$ обратное число $\dfrac1x$. Можно ли с помощью этого микрокалькулятора получить единицу, если исходное число