«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Боковые стороны, диагонали и продолжения оснований трапеции пересекают прямую $l$ в шести точках, т. е. высекают на прямой $l$ пять отрезков.
Рассматривается последовательность слов, состоящая из букв $A$ и $B$. Первое слово в последовательности — «$A$»; $k$-e слово получается из $(k-1)$-го с помощью следующей операции: каждое $A$ заменяется на…
В трапеции $ABCD$ (с основаниями $BC$ и $AD$) на сторонах $AB$ и $CD$ выбраны точки $K$ и $M$. Докажите, что если $\angle BAM=\angle CDK$, то $\angle BMA=\angle CKD$.
Микрокалькулятор «Чебурашка» умеет складывать, вычитать и находить по данному числу $x$ обратное число $\dfrac1x$. Можно ли с помощью этого микрокалькулятора получить единицу, если исходное число
На шахматной доске расставлено несколько фишек. За один ход одна из фишек передвигается на соседнее (по горизонтали или вертикали) свободное поле. После нескольких ходов оказалось, что каждая фишка побывала на всех полях ровно по одному разу и вернулась на исходное поле. Докажите, что был…
В лесу барона Мюнхаузена растут ёлки и берёзы. Барон утверждает, что на расстоянии ровно 1 км от каждой ёлки растёт в точности 10 берёз, причём ёлок в его лесу больше, чем берёз. Может ли это быть?
На плоскости дан выпуклый $n$-угольник, у которого длина $k$-й стороны равна $a_k$, а длина проекции многоугольника на прямую, содержащую эту сторону, равна $d_k$ ($k=1$, 2, $\ldots$, $n$). Докажите…
Пусть $n$ — натуральное число и $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_{2n+1}$ подмножества некоторого множества $B$. Предположим, что
Функция $f$ определена на множестве целых положительных чисел и удовлетворяет следующим условиям: $$\begin{gathered} f(1)=1,\quad f(3)=3,\quad f(2n)=f(n),\\ f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n),\quad f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n) \end{gathered}$$ Найдите число всех таких значений $n$, для которых $f(n)=n$ и $1\le n\le 1988$.
Докажите, что множество решений неравенства $$ \textstyle\sum\limits_{k=1}^{70}\dfrac{k}{x-k}\ge \dfrac54 $$ является объединением непересекающхся промежутков, сумма длин которых равна 1988.