«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
(Напомним, что многоугольник на плоскости ограничен несамопересекающейся замкнутой ломаной.)
Про $n$ чисел, произведение которых равно $p$, известно, что разность между $p$ и каждым из этих чисел — нечётное целое число. Докажите, что все эти $n$ чисел иррациональны.
Прямоугольник $a\times b$ ($a\gt b$) разбит на прямоугольные треугольники, граничащие друг с другом только по целым сторонам, так что общая сторона двух треугольников всегда служит катетом одного и гипотенузой другого. Докажите, что $\dfrac ab\ge2$.
Капитан нашёл Остров Сокровищ, имеющий форму круга. На его берегу растут шесть пальм. Капитан знает, что клад закопан в середине отрезка, соединяющего точки пересечения высот треугольников $ABC$ и $DEF$, где $A$, $B$, $C$,…
В компанию из $N$ человек пришёл журналист. Ему известно, что в этой компании есть человек $Z$, который знает всех остальных членов компании, но его не знает никто. Журналист может к каждому члену компании обратиться с вопросом: «Знаете ли вы такого-то?».
Текст задачи готовится
На плоскости даны две пересекающиеся окружности. Точка $A$ — одна из двух точек пересечения этих окружностей. В каждой окружности проведён диаметр, параллельный касательной в точке $A$ к другой окружности, причём эти диаметры не пересекаются. Докажите, что концы…
Известно, что $f(x)$, $g(x)$ и $h(x)$ — квадратные трёхчлены. Может ли уравнение $f(g(h(x)))=0$ иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?
Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке. Докажите, что эта точка, основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении $2:1$, считая от вершин, лежат на одной сфере.
Даны многочлены $P(x)$ и $Q(x)$, у которых старшие коэффициенты равны 1. Докажите, что сумма квадратов коэффициентов многочлена $P(x)Q(x)$ не меньше суммы квадратов свободных членов $P(x)$ и $Q(x)$.
