«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Пусть $h$ и $l$ — высота и биссектриса, проведённые из одной вершины треугольника, $R$ и $r$ — радиусы его описанной и вписанной окружностей. Докажите неравенство $\dfrac hl\ge\sqrt{\dfrac{2r}R}$.
Какое наибольшее число поворотов может содержать замкнутый маршрут ладьи, обходящий по одному разу все клетки шахматной доски $8\times8$ клеток?
Докажите, что если четырёхугольник вписан в окружность и описан около другой окружности, то прямая, проведённая через центры этих окружностей, проходит через точку пересечения диагоналей четырёхугольника.
Точка движется в треугольнике, отражаясь от его сторон по закону «угол падения равен углу отражения». Периодической называется такая траектория этой точки, которая является замкнутой ломаной и не проходит через вершины треугольника. (Примеры периодических траекторий с тремя и шестью звеньями…
Текст задачи готовится
Рассматривается последовательность слов, состоящая из букв $A$ и $B$. Первое слово в последовательности — «$A$»; $k$-e слово получается из $(k-1)$-го с помощью следующей операции: каждое $A$ заменяется на…
В трапеции $ABCD$ (с основаниями $BC$ и $AD$) на сторонах $AB$ и $CD$ выбраны точки $K$ и $M$. Докажите, что если $\angle BAM=\angle CDK$, то $\angle BMA=\angle CKD$.
Микрокалькулятор «Чебурашка» умеет складывать, вычитать и находить по данному числу $x$ обратное число $\dfrac1x$. Можно ли с помощью этого микрокалькулятора получить единицу, если исходное число
На шахматной доске расставлено несколько фишек. За один ход одна из фишек передвигается на соседнее (по горизонтали или вертикали) свободное поле. После нескольких ходов оказалось, что каждая фишка побывала на всех полях ровно по одному разу и вернулась на исходное поле. Докажите, что был…
В лесу барона Мюнхаузена растут ёлки и берёзы. Барон утверждает, что на расстоянии ровно 1 км от каждой ёлки растёт в точности 10 берёз, причём ёлок в его лесу больше, чем берёз. Может ли это быть?
На плоскости дан выпуклый $n$-угольник, у которого длина $k$-й стороны равна $a_k$, а длина проекции многоугольника на прямую, содержащую эту сторону, равна $d_k$ ($k=1$, 2, $\ldots$, $n$). Докажите…
