Задача М1125‍‍‍

Рассматривается последовательность слов, состоящая из букв $A$‍‍ и $B$‍.‍ Первое слово в последовательности — «$A$‍‍»; $k$‍‍-e слово получается из $(k-1)$‍‍-го с помощью следующей операции: каждое $A$‍‍ заменяется на $AAB$‍,‍ каждое $B$‍‍ — на $A$‍‍ ($A$‍,‍ $AAB$‍,‍ $AABAABA$‍,‍ $\ldots$‍).‍

1. Докажите, что каждое слово является началом следующего (тем самым определяется бесконечная последовательность букв: $AABAABAAABAABAAAB\ldots$‍).‍
2. На каком месте в этой последовательности встретится 1988-я буква $A$‍?‍
3. Докажите, что эта последовательность непериодическая.