«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что для любых положительных чисел $a$ и $b$ выполняется неравенство $$ 2\sqrt{a\vphantom b}+3\sqrt[\scriptstyle3~]{b}\ge5\sqrt[\scriptstyle5~]{ab}. $$
В турнире участвуют $2m$ команд. В первом туре встретились некоторые $m$ пар команд, во втором — другие $m$ пар. Докажите, что после этого можно выбрать $m$ команд, никакие две из которых ещё не играли между собой.
Из одной точки $O$ на плоскости проведено $n$ векторов единичной длины. Докажите, что если для некоторого $k\lt\dfrac{n}{2}$ по обе стороны от каждой прямой, проходящей через $O$, лежит не менее $k$ векторов, то длина суммы всех…
Найдите все натуральные числа $a$, для которых число $a-1$ является суммой
делителей числа $a$ (не обязательно различных; в число…
В пространстве заданы три попарно скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, у которых эти три прямые
Текст задачи готовится
Докажите, что любой треугольник можно разрезать отрезками на четыре куска, из которых можно составить два подобных ему треугольника.
Обозначим через $\sigma(n)$ сумму всех натуральных делителей числа $n$ (включая $1$ и $n$) и через $\varphi(n)$ — количество чисел, меньших числа $n$ и взаимно простых с ним. Докажите, что для любого натурального…
Три многоугольника в пространстве расположены так, что их плоскости пересекаются в одной точке $O$.
Докажите неравенство $$ \dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\dfrac{a+b+c}{3}. $$
На начальной остановке в автобус вошло 32 пассажира, которым нужно ехать до 32 разных остановок, расположенных на расстоянии 1 км друг от друга. Водитель решил провести голосование: какие остановки отменить, а какие сохранить. Он называет остановки в некотором порядке. Пассажир голосует за…
