Пусть $1=d_1\lt\ldots\lt d_k=n$ — все делители числа $n$. Среди натуральных чисел, не превосходящих $n$, количество кратных $d_i$, равно $\dfrac n{d_i}$, поэтому общее количество чисел, не взаимно простых с $n$, равное $n-\varphi(n)$, не больше суммы
$$
\dfrac n{d_2}+\dfrac n{d_3}+\ldots+\dfrac n{d_k}=d_{k-1}+d_{k-2}+\ldots+d_1=\sigma(n)-n
$$
$\Big($ибо $\dfrac n{d_1}=d_k$, $\dfrac n{d_2}=d_{k-1}$, ${\ldots}\Big)$. Таким образом,
$$
n-\varphi(n)\le\sigma(n)-n,
$$
откуда и следует доказываемое неравенство.
Отметим, что для простого $p$ наша оценка точна:
$$
\sigma(p)=p+1,\quad\varphi(p)=p-1,\quad\sigma(p)+\varphi(p)=2p.
$$
