Задачник «Кванта» / Квант. — 1980. — № 8 / 1980 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1980. — № 8. — С. 26—44.

Задачи этого номера предлагались на заключительном туpe XIV Всесоюзной олимпиады школьников. Число в скобках обозначает класс, в котором предлагалась задача.

Открыть в номере

Задачи М636‍—‍М640; Ф648‍—‍Ф652 Задачи М636—М640; Ф648—Ф652 // Квант. — 1980. — № 8. — С. 26—27.

Задача М636
Множество $A$‍‍ состоит из целых чисел, его наименьший элемент равен 1, а наибольший элемент равен 100. Каждый элемент $A$‍,‍ кроме 1, равен сумме двух (возможно, равных) чисел, принадлежащих $A$‍.‍ Укажите среди всех множеств $A$‍,‍…
Задача М637
Дан правильный треугольник $ABC$‍.‍ Некоторая прямая, параллельная прямой $AC$‍,‍ пересекает прямые $AB$‍‍ и $BC$‍‍ в точках $M$‍‍ и $P$‍‍ соответственно. Точка $D$‍‍ — центр треугольника $PMB$‍,‍ точка…
Задача М638
Некоторые клетки бесконечного листа клетчатой бумаги окрашены в красный цвет, остальные в синий, причём так, что каждый прямоугольник из 6 клеток размером $2 \times 3$‍‍ содержит в точности две красные клетки. Сколько красных клеток может содержать прямоугольник из 99 клеток размером…
Задача М639
В тетраэдре $ABCD$‍‍ $(AC) \perp (BC)$‍‍ и $(AD) \perp (BD)$‍.‍ Докажите, что косинус угла между прямыми $AC$‍‍ и $BD$‍‍ меньше, чем $\dfrac{|CD|}{|AB|}$‍.‍
Задача М640
[MISSING TEXT]
Задача Ф648
[MISSING TEXT]
Задача Ф649
[MISSING TEXT]
Задача Ф650
[MISSING TEXT]
Задача Ф651
[MISSING TEXT]
Задача Ф652
[MISSING TEXT]

Решения задач М579‍—‍М582, М584, М586‍—‍М594, М597; Ф589‍—‍Ф598 Решения задач М579—М582, М584, М586—М594, М597; Ф589—Ф598 // Квант. — 1980. — № 8. — С. 28—44.

Задача М579
Докажите, что для любых чисел $x_1$‍,‍ $x_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $x_n$‍,‍ принадлежащих отрезку $[0; 1]$‍,‍ выполнено неравенство $$ (x_1+x_2+\ldots+x_n+1)^2 \ge 4(x_1^2 + x_2^2+\ldots+x_n^2). $$
Задача М580
В парламенте у каждого его члена не более трёх врагов. Докажите, что парламент можно разбить на две палаты так, что у каждого парламентария в одной с ним палате будет не более одного врага. (Считается, что если $A$‍‍ — враг $B$‍,‍ то $B$‍‍ — враг…
Задача Ф589
[MISSING TEXT]
Задача Ф590
[MISSING TEXT]
Задача Ф591
[MISSING TEXT]
Задача Ф592
[MISSING TEXT]
Задача М581
1. Существует ли трёхзначное число, куб которого оканчивается на три семёрки?
2. Для любого ли набора цифр, последняя из которых — не 0, существует куб, оканчивающийся этим набором цифр?
Задача М582
В окружность с центром $O$‍‍ вписан четырёхугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями. Докажите, что расстояние от точки $O$‍‍ до каждой его стороны равно половине длины противоположной стороны.
Задача М584
Можно ли представить всё пространство в виде объединения прямых, каждые две из которых — скрещивающиеся (то есть не лежат в одной плоскости)?
Задача Ф593
[MISSING TEXT]
Задача Ф594
Представьте себе, что вы находитесь в жарко натопленной бане, а за окном — мороз. Куда повалит пар, если вы откроете форточку?
Задача Ф595
[MISSING TEXT]
Задача Ф596
[MISSING TEXT]
Задача Ф597
[MISSING TEXT]
Задача М586
В треугольнике $ABC$‍,‍ у которого $\widehat B=60^\circ$‍,‍ провели биссектрисы $AD$‍‍ и $CE$‍,‍ пересекающиеся в точке $O$‍.‍ Докажите, что $|OD|=|OE|$‍.‍
Задача М587
Дана тройка чисел 2, $\sqrt2$‍,‍ $\dfrac1{\sqrt2}$‍.‍ Разрешается любые два из них заменить двумя такими: их суммой, делённой на $\sqrt2$‍,‍ и их разностью, также делённой на $\sqrt2$‍.‍ Можно ли, проделав эту процедуру несколько раз, получить тройку чисел 1,…
Задача М588
1. Через точку, взятую внутри произвольного тетраэдра, параллельно его рёбрам проведены отрезки с концами на гранях тетраэдра. Докажите, что сумма всех шести отношений длин этих отрезков к длинам параллельных им рёбер всегда равна трём.
2. Сформулируйте и…
Задача М589
На плоскости дан набор из $n$‍‍ векторов, длина каждого из которых не превосходит 1. Докажите, что, заменив некоторые векторы этого набора на противоположные, можно получить такой набор из $n$‍‍ векторов, сумма которых имеет длину
Задача М590
1. Найдите наименьшее значение выражения $|{\cos x}|+|{\cos2x}|$‍.‍
Докажите, что для любого числа $x$‍‍ и любого натурального числа $n$‍‍ сумма $$|{\cos x}|+|{\cos2x}|+|{\cos4x}|+\ldots+|{\cos2^nx}|$$
1. не меньше…
Задача Ф598
[MISSING TEXT]
Задача М591
Пусть $p$‍‍ и $q$‍‍ — натуральные числа такие, что $$ \frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}. $$ Докажите, что число $p$‍‍ делится на 1979.
Задача М592
[MISSING TEXT]
Задача М593
[MISSING TEXT]
Задача М594
Найдите все действительные числа $a$‍,‍ для которых существуют действительные неотрицательные числа $x_1$‍,‍ $x_2$‍,‍ $x_3$‍,‍ $x_4$‍,‍ $x_5$‍,‍ удовлетворяющие соотношениям $$ \sum_{k=1}^5kx_k=a,\quad \sum_{k=1}^5k^3x_k=a^2,\quad \sum_{k=1}^5k^5x_k=a^3. $$
Задача М597
[MISSING TEXT]

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1980. — № 8. — С. 26—44.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1980
Номер: 8
Страницы: 26—44
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1980. — № 8. — С. 26‍—‍44.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1980/8/zadachnik_kvanta-e6029d8d/
Полный текст: опубликован 19.10.2025

Задачник «Кванта» (1980, № 8)Задачник «Кванта» // Квант. — 1980. — № 8. — С. 26‍—‍44.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1980. — № 8. — С. 26—44.

Задачи М636‍—‍М640; Ф648‍—‍Ф652 Задачи М636—М640; Ф648—Ф652 // Квант. — 1980. — № 8. — С. 26—27.

Решения задач М579‍—‍М582, М584, М586‍—‍М594, М597; Ф589‍—‍Ф598 Решения задач М579—М582, М584, М586—М594, М597; Ф589—Ф598 // Квант. — 1980. — № 8. — С. 28—44.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1980. — № 8. — С. 26—44.