а) Очевидно, у всех чисел $x_k$ с номерами $k\gt m$ первые $m$ цифр после запятой одинаковы — обозначим эти цифры через $b_1$, $b_2$, $\ldots$, $b_m$. Здесь $m$ — произвольное, и мы можем рассмотреть число $y$, записывающееся бесконечной дробью $0{,}b_1b_2\ldots b_m$. Тогда при $k\gt m$ выполнено неравенство $|x_k-y|\lt10^{-m}$, откуда следует, что $\lim\limits_{k\to\infty}x_k=y$. Этот пункт задачи носит подготовительный характер — он позволяет понять, как при последовательном «перемешивании» пятёрок цифр дроби $x$ получается новая бесконечная десятичная дробь $y$.
б) Ответ. Можно. Приведём пример. Возьмём дробь $x=0{,}(10)$ и «перемешаем» её только на участках цифр с номерами $10^n\lt k\lt10^n+5$ при всех натуральных $n$: вместо 1010 на этих местах поставим 1100. Участки цифр с номерами $10^n+5\le k\le10^{n+1}$ по-прежнему будут периодическими. Допустим, что в результате получилась периодическая дробь $y=0{,}b_1b_2b_3\ldots$ с $p$ цифрами в периоде: $b_{i+p}=b_i$ для всех $i\ge N$. Выберем $n$ так, чтобы выполнялись неравенства $10^n\gt N$ и $10^{n+1}-10^n-4\gt p$; тогда хотя бы один полный период $y$ попадёт на оставленный участок периодичности $x$, поэтому дробь $y$ должна иметь период (10). Но по построению у дроби $y$ сколь угодно далеко от запятой встречаются две единицы подряд — противоречие.
в) Пусть у дроби $x$ на местах с номерами $10^n\lt k\le10^n+5$ при всех натуральных $n$ стоят единицы, остальные цифры — нули. Покажем, что ни при каком перемешивании дробь $x$ не превращается в периодическую. Предположим противное: при каком-то последовательном перемешивании пятёрок цифр получилась периодическая дробь $y$. Заметим, что при перемешивании номер данной цифры (нуля или единицы) не может уменьшиться более, чем на четыре. Среди цифр от первой до $(10^n+5)$-й после запятой всего $5n$ единиц, и, в силу предыдущего замечания, их число на этом участке не может увеличится. Если бы в периоде дроби $y$ было $p$ цифр и среди них $q\gt0$ единиц, то при достаточно большом $n$ на участке цифр с номерами $1\le k\le10^n$ было бы по крайней мере $q\cdot\left[\dfrac{10^n-N}p\right]$ единиц, где $N$ — номер цифры $y$, с которой начинается периодичность. Таким образом, получаем неравенство $q\cdot\left[\dfrac{10^n-N}{p}\right]\le5n$, неверное при достаточно больших $n$. Следовательно, единиц в периоде дроби $y$ быть не может: начиная с некоторого места должны идти одни нули.
Теперь покажем, что при любом перемешивании дроби $x$ сколь угодно далеко от запятой должны остаться единицы. Среди цифр дроби $x$ от первой до $(10^n+1)$-й после запятой имеется некоторое количество нулей. Так как более далёкие от запятой нули имеют номера, начиная с $10^n+6$, после перемешивания они не могут попасть в указанный участок; число нулей на нём не увеличится, а число единиц соответственно не уменьшится. Следовательно, стоящие в дроби $x$ на участке цифр с номерами $10^n+1\le k\le10^n+5$ единицы не могут все сдвинуться вправо — хотя бы одна единица должна остаться на участке от первой до $(10^n+1)$-й цифры. С другой стороны, сдвинуться влево более чем на четыре места они тоже не могут, поэтому при любом $n$ на участке цифр с номерами $10^n-3\le k\le10^{n+1}$ у дроби $y$ останется хотя бы одна единица. Очевидно, это противоречит тому, что период дроби состоит только из нуля.
