В тетраэдре $ABCD$ $(AC)\perp(BC)$ и $(AD)\perp(BD)$. Докажите, что косинус угла между прямыми $AC$ и $BD$ меньше, чем $\dfrac{|CD|}{|AB|}$.
Ю. В. Нестеренко
Всесоюзная математическая олимпиада (XIV, 1980 год, 10 класс)
Проведём $(BE)\parallel(CA)$ и $(AE)\parallel(CB)$ (см. рисунок). Косинус угла между прямыми $AC$ и $BD$ — это $|{\cos\widehat{DBE}}|$.
С другой стороны, четырёхугольник $ACBE$ — прямоугольник, поэтому $|AB|=|CE|$ и $\dfrac{|CD|}{|AB|}=\dfrac{|CD|}{|CE|}$.
Заметим, что вершины прямых углов $ACB$, $ADB$, $AEB$ лежат на сфере с диаметром $AB$. Отрезок $CE$ тоже является диаметром этой сферы, поэтому угол $CDE$ — прямой и $\dfrac{|CD|}{|CE|}=\cos\widehat{DCE}$. Нужное неравенство принимает теперь вид $|{\cos\widehat{DBE}}|\lt\cos\widehat{DCE}$.
Пусть $R$ — радиус сферы и $r$ — радиус окружности, получающейся в сечении сферы плоскостью $BDE$. Так как эта плоскость не проходит через центр сферы, $r\lt R$ и из равенств
$$2r\sin\widehat{DBE}=|DE|=2R\sin\widehat{DCE}$$
получаем $\sin\widehat{DBE}\gt\sin\widehat{DCE}$. Значит, $|{\cos\widehat{DBE}}|\lt|{\cos\widehat{DCE}}|=\cos\widehat{DCE}$.
