Задачник «Кванта» / Квант. — 1979. — № 10 / 1979 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1979. — № 10. — С. 7, 14, 26—35, 38.

Задачи этого номера предлагались на Всероссийской олимпиаде школьников этого года. Числа в скобках обозначают класс, в котором предлагались эти задачи.

Открыть в номере

Задачи М586‍—‍М590; Ф598‍—‍Ф602 Задачи М586—М590; Ф598—Ф602 // Квант. — 1979. — № 10. — С. 26—27.

Задача М586
В треугольнике $ABC$‍,‍ у которого $\widehat B=60^\circ$‍,‍ провели биссектрисы $AD$‍‍ и $CE$‍,‍ пересекающиеся в точке $O$‍.‍ Докажите, что $|OD|=|OE|$‍.‍
Задача М587
Дана тройка чисел 2, $\sqrt2$‍,‍ $\dfrac1{\sqrt2}$‍.‍ Разрешается любые два из них заменить двумя такими: их суммой, делённой на $\sqrt2$‍,‍ и их разностью, также делённой на $\sqrt2$‍.‍ Можно ли, проделав эту процедуру несколько раз, получить тройку чисел 1,…
Задача М588
1. Через точку, взятую внутри произвольного тетраэдра, параллельно его рёбрам проведены отрезки с концами на гранях тетраэдра. Докажите, что сумма всех шести отношений длин этих отрезков к длинам параллельных им рёбер всегда равна трём.
2. Сформулируйте и…
Задача М589
На плоскости дан набор из $n$‍‍ векторов, длина каждого из которых не превосходит 1. Докажите, что, заменив некоторые векторы этого набора на противоположные, можно получить такой набор из $n$‍‍ векторов, сумма которых имеет длину
Задача М590
1. Найдите наименьшее значение выражения $|{\cos x}|+|{\cos2x}|$‍.‍
Докажите, что для любого числа $x$‍‍ и любого натурального числа $n$‍‍ сумма $$|{\cos x}|+|{\cos2x}|+|{\cos4x}|+\ldots+|{\cos2^nx}|$$
1. не меньше…
Задача Ф598
Текст задачи готовится
Задача Ф599
Текст задачи готовится
Задача Ф600
Текст задачи готовится
Задача Ф601
Текст задачи готовится
Задача Ф602
Текст задачи готовится

Решения задач М530, М531, М533, М534, М536, М537; Ф537, Ф542‍—‍Ф545 Решения задач М530, М531, М533, М534, М536, М537; Ф537, Ф542—Ф545 // Квант. — 1979. — № 10. — С. 28—35.

Задача Ф537
Текст задачи готовится
Задача М530
На прямоугольном листе бумаги в клетку некоторые клетки закрашены в чёрный цвет. Затем происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: клетка, имевшая чётное число чёрных соседей, становится белой, а имевшая нечётное число чёрных соседей — чёрной. (Соседями…
Задача Ф542
Текст задачи готовится
Задача М531
Из пунктов $A$‍‍ и $B$‍‍ одновременно выехали навстречу друг другу автомобилист и велосипедист. Встретившись в точке $C$‍,‍ они тотчас развернулись и поехали обратно (с теми же скоростями). Доехав до своих пунктов $A$‍‍ и $B$‍,‍…
Задача М533
Назовём выпуклый многоугольник особым, если некоторые три его диагонали пересекаются в одной точке. Докажите, что у каждого особого семиугольника найдётся вершина $A$‍,‍ обладающая таким свойством: для любого $\eps\gt0$‍‍ вершину $A$‍‍ можно сдвинуть на…
Задача М534
Три прямые, параллельные сторонам треугольника $ABC$‍‍ и проходящие через одну точку, отсекают от $\triangle ABC$‍‍ трапеции. Три диагонали этих трапеций, не имеющие общих концов, делят треугольник на семь частей, из которых четыре — треугольники (рис. 1). Докажите, что сумма…
Задача Ф543
Текст задачи готовится
Задача Ф544
Текст задачи готовится
Задача Ф545
Текст задачи готовится
Задача М536
1. Докажите, что любой прямоугольник размером $m \times 2n$‍‍ клеток можно замостить двумя слоями костяшек домино (плиток $1 \times 2$‍‍ клетки) так, чтобы каждая плитка верхнего слоя опиралась на две разные плитки нижнего слоя.
2. Прямоугольник размером…
Задача М537
Окружность касается внутренним образом окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника $ABC$‍,‍ а также равных сторон $AB$‍‍ и $AC$‍‍ этого треугольника в точках $P$‍,‍ $Q$‍‍ соответственно. Докажите, что середина отрезка…

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1979. — № 10. — С. 7, 14, 26—35, 38.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1979
Номер: 10
Страницы: 7, 14, 26—35, 38
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1979. — № 10. — С. 7, 14, 26‍—‍35, 38.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1979/10/zadachnik_kvanta-016cef06/
Полный текст: опубликован 08.03.2026

Задачник «Кванта» (1979, № 10)Задачник «Кванта» // Квант. — 1979. — № 10. — С. 7, 14, 26‍—‍35, 38.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1979. — № 10. — С. 7, 14, 26—35, 38.

Задачи М586‍—‍М590; Ф598‍—‍Ф602 Задачи М586—М590; Ф598—Ф602 // Квант. — 1979. — № 10. — С. 26—27.

Решения задач М530, М531, М533, М534, М536, М537; Ф537, Ф542‍—‍Ф545 Решения задач М530, М531, М533, М534, М536, М537; Ф537, Ф542—Ф545 // Квант. — 1979. — № 10. — С. 28—35.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1979. — № 10. — С. 7, 14, 26—35, 38.