Из пунктов $A$ и $B$ одновременно выехали навстречу друг другу автомобилист и велосипедист. Встретившись в точке $C$, они тотчас развернулись и поехали обратно (с теми же скоростями). Доехав до своих пунктов $A$ и $B$, они опять развернулись и второй раз встретились в точке $D$; здесь они вновь развернулись, и т. д. В какой точке отрезка $AB$ произошла их 1978-я встреча?
Лучше всего решать эту задачу с помощью графиков движения. Постоянство скорости движущейся точки означает, что её график движения образует один и тот же угол с осью времени $t$ (рис. 4). Пусть моменты встреч — $t_1$, $t_2$, $t_3$, $\ldots$. Ясно, что оба графика движения на участках $t_1\lt t\le t_2$ и $t_2\le t\lt t_3$ идут симметрично относительно прямой $t=t_2$, поэтому третья встреча произойдёт в той же точке $C$, где и первая. Точно так же прямая $t=t_3$ является осью симметрии графиков движения при $t\le t_3$ и $t\ge t_3$; поэтому четвёртая встреча произойдёт в той же точке $D$, что и вторая, и т. д.: каждая нечётная встреча будет происходить в точке $C$, каждая чётная, в том числе и 1978-я, — в точке $D$.
Из нашего решения ясно также, что числа $t_1$, $t_2$, $t_3$, $\ldots$ образуют арифметическую прогрессию: встречи происходят через равные промежутки времени $d=t_{n+1}-t_n$, и вся картина полностью повторяется с периодом $T=2d$.
Это наблюдение — частный случай такого полезного факта: если график функции $y=f(x)$ симметричен относительно прямых $x=a$ и $x=b$ (т. е. $f(a+x)=f(a-x)$ и $f(b+x)=f(b-x)$), то функция $f$ — периодическая с периодом $2|b−a|$ (в нашей задаче роль $x$ играет время $t$).
