Окружность касается внутренним образом окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника $ABC$, а также равных сторон $AB$ и $AC$ этого треугольника в точках $P$, $Q$ соответственно. Докажите, что середина отрезка $PQ$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
Международная математическая олимпиада школьников (XX, 1978 год)
Отметим на оси симметрии треугольника $BAC$ точки $H\in[BC]$, $K\in[PQ]$, центр $O$ данной окружности и точку $T$ её касания с окружностью, описанной вокруг треугольника $BAC$ (рис. 12). Поскольку отрезки $TB$ и $OP$ оба перпендикулярны к прямой $BA$ (угол $TBA$ опирается на диаметр $[AT]$, а $[OP]$ — радиус, идущий в точку касания), а отрезки $BH$ и $PK$ перпендикулярны к оси симметрии $(AT)$, получаем
$$
\dfrac{|AH|}{|AT|}=\dfrac{|AK|}{|AO|}=\cos^2\alpha,\tag{*}
$$
где $\alpha=\dfrac12\widehat{BAC}$.
Пусть $B'$ и $C'$ — точки пересечения сторон угла $BAC$ с касательной, проведённой в точке $T$. При гомотетии с центром $A$ и коэффициентом $k=\cos^2\alpha$ треугольник $B'AC'$ перейдёт в треугольник $BAC$ (при этом $T$ перейдёт в $H$), а центр $O$ окружности, вписанной в $\triangle B'AC'$, перейдёт согласно (*) в точку $K$. Таким образом, мы доказали, что центр окружности, вписанной в $\triangle ABC$, — точка $K$.
