«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Задачи Ф428, Ф429 и Ф432 предлагались на IX Международной олимпиаде по физике.
На плоскости даны $n$ точек $A_1$, $\ldots$, $A_n$, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Какое наибольшее число отрезков с концами в этих точках можно провести так, чтобы не получилось ни одного треугольника с вершинами в этих…
На поверхности куба с ребром 1 расположена замкнутая ломаная линия. На каждой грани куба находится по крайней мере одно звено ломаной. Докажите, что длина ломаной не меньше $3\sqrt2$.
Докажите, что для любого натурального $n$ выполняются неравенства: $$ n{\left(\!\sqrt[\scriptstyle n~]{n+1}-1\right)}\le 1+\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac1n\le 1+n{\left(1-\dfrac1{\!\sqrt[\scriptstyle n~]n}\right)}. $$
В круге радиуса 16 расположено 650 точек. Докажите, что найдётся кольцо с внутренним радиусом 2 и внешним радиусом 3, в котором лежат не менее 10 из данных точек.
Текст задачи готовится
Дан треугольник $ABC$. Найти на стороне $AC$ такую точку $D$, чтобы периметр треугольника $ABD$ равнялся длине стороны $BC$.
