Задачник «Кванта» / Квант. — 1971. — № 10 / 1971 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1971. — № 10. — С. 33—44.

В этом номере «Задачник «Кванта» составлен из задач, предлагавшихся на заключительных турах пятой Всесоюзной олимпиады по математике и физике.

Открыть в номере

Задачи М106‍—‍М110; Ф118‍—‍Ф122 Задачи М106—М110; Ф118—Ф122 // Квант. — 1971. — № 10. — С. 33—34.

Задача М106
Докажите, что если для чисел $p_1$‍,‍ $p_2$‍,‍ $q_1$‍,‍ $q_2$‍‍ выполнено неравенство $$ (q_1-q_2)^2+(p_1-p_2)(p_1q_2-p_2q_1)\lt0, $$ то квадратные трёхчлены $$ x^2+p_1x+q_1\quad\text{и}\quad x^2+p_2x+q_2 $$ имеют вещественные корни и между двумя корнями каждого из них лежит корень другого.
Задача М107
а) Дан выпуклый многоугольник $A_1A_2\ldots A_n$‍‍ (рис. 1). На стороне $A_1A_2$‍,‍ взяты точки $B_1$‍,‍ и $D_2$‍,‍ на стороне $A_2A_3$‍‍ — точки $B_2$‍‍ и $D_3$‍,‍ ..., на стороне $A_nA_1$‍‍ точки $B_n$‍‍ и…
Задача М108
а) Докажите, что прямая, разбивающая данный треугольник на два многоугольника равной площади и равного периметра, проходит через центр окружности, вписанной в треугольник.

б) Докажите, аналогичное утверждение для произвольного многоугольника, в который можно вписать окружность.
Задача М109
1. В вершине $A_1$‍‍ правильного 12-угольника $A_1A_2A_3\ldots A_{12}$‍‍ стоит знак минус, а в остальных — плюсы. Разрешается одновременно менять знак на противоположный в любых шести последовательных вершинах многоугольника. Докажите, что за несколько таких…
Задача М110
На бесконечном листе клетчатой бумаги $N$‍‍ клеток выкрашено в черный цвет. Докажите, что из листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполнены два условия:

1) все чёрные клетки будут лежать в вырезанных квадратах;

2) в любом вырезанном…
Задача Ф118
Текст задачи готовится
Задача Ф119
Текст задачи готовится
Задача Ф120
Текст задачи готовится
Задача Ф121
Текст задачи готовится
Задача Ф122
Текст задачи готовится

Решения задач М64‍—‍М69; Ф75‍—‍Ф78 Решения задач М64—М69; Ф75—Ф78 // Квант. — 1971. — № 10. — С. 35—44.

Задача М64
На плоскости даны прямая $l$‍‍ и две точки $P$‍‍ и $Q$‍,‍ лежащие по одну сторону от неё. Найти на прямой $l$‍‍ такую точку $M$‍,‍ для которой расстояние между основаниями высот треугольника $PQM$‍,‍ опущенных на стороны…
Задача М65
1. Пусть $E$‍,‍ $F$‍,‍ $G$‍‍ — такие точки на сторонах $AB$‍,‍ $BC$‍‍ и $CA$‍‍ треугольника $ABC$‍,‍ для которых $$ \frac{AE}{EB}=\frac{BF}{FC}=\frac{CG}{GA}=k, $$ где $0\lt k\lt 1$‍.‍ Найдите отношение площади…
Задача Ф75
Текст задачи готовится
Задача Ф76
Текст задачи готовится
Задача М66
Вот несколько примеров, когда сумма квадратов $k$‍‍ последовательных натуральных чисел равна сумме квадратов $k-1$‍‍ следующих натуральных чисел: $$\begin{gathered} 3^2+4^2=5^2,\\ 36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2,\\ 55^2+56^2+57^2+58^2+59^2+60^2=61^2+62^2+63^2+64^2+65^2. \end{gathered}$$

Найдите общую формулу, охватывающую все такие случаи.
Задача М67
Ювелиру заказано золотое колечко шириной $h$‍,‍ имеющее форму тела, ограниченного поверхностью шара с центром $O$‍‍ и поверхностью цилиндра радиуса $r$‍,‍ ось которого проходит через точку $O$‍‍ (рис. 1). Мастер сделал такое колечко, но выбрал…
Задача М68
Сетка линий, изображённая на обложке этого номера журнала, состоит из концентрических окружностей радиусов 1, 2, 3, 4, ... с центром в точке $O$‍,‍ прямой $l$‍,‍ проходящей через точку $O$‍,‍ и всевозможных касательных к окружностям, параллельных…
Задача М69
Число 76 обладает таким любопытным свойством: последние две цифры числа $76^2=5776$‍‍ дают снова 76.
1. Есть ли ещё такие двузначные числа?
2. Найдите все трехзначные числа $A$‍‍ такие, у которых последние три цифры числа…
Задача Ф77
Текст задачи готовится
Задача Ф78
Текст задачи готовится

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1971. — № 10. — С. 33—44.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1971
Номер: 10
Страницы: 33—44
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1971. — № 10. — С. 33‍—‍44.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1971/10/zadachnik_kvanta-0092b1de/
Полный текст: опубликован 08.03.2026

Задачник «Кванта» (1971, № 10)Задачник «Кванта» // Квант. — 1971. — № 10. — С. 33‍—‍44.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1971. — № 10. — С. 33—44.

Задачи М106‍—‍М110; Ф118‍—‍Ф122 Задачи М106—М110; Ф118—Ф122 // Квант. — 1971. — № 10. — С. 33—34.

Решения задач М64‍—‍М69; Ф75‍—‍Ф78 Решения задач М64—М69; Ф75—Ф78 // Квант. — 1971. — № 10. — С. 35—44.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1971. — № 10. — С. 33—44.