Условие задачи (1971, № 10) Задача М107 // Квант. — 1971. — № 10. — Стр. 33; 1972. — № 6. — Стр. 40—41.
- Дан выпуклый многоугольник
$A_1A_2\ldots A_n$ (рис. 1). На стороне$A_1A_2$, взяты точки$B_1$, и$D_2$, на стороне$A_2A_3$ — точки$B_2$ и$D_3$, $\ldots$, на стороне$A_nA_1$ точки$B_n$ и$D_1$ так, что если построить параллелограммы$A_1B_1C_1D_1$, $A_2B_2C_2D_2$, $\ldots$, $A_nB_nC_nD_n$, то прямые$A_1C_1$, $A_2C_2$, $\ldots$, $A_nC_n$ пересекутся в одной точке. Докажите, что $$ A_1B_1\cdot A_2B_2\cdot\ldots\cdot A_nB_n=A_1D_1\cdot A_2D_2\cdot\ldots\cdot A_nD_n. $$ - Докажите, что для треугольника верно и обратное утверждение: пусть на стороне
$A_1A_2$ выбраны точки$B_1$ и$D_2$, на стороне$A_2A_3$ — точки$B_2$ и$D_3$, на стороне$A_3A_1$ — точки$B_3$ и$D_1$ так, что $$ A_1B_1\cdot A_2B_2\cdot A_3B_3=A_1D_1\cdot A_2D_2\cdot A_3D_3; $$ тогда, если построить параллелограммы$A_1B_1C_1D_1$, $A_2B_2C_2D_2$, $A_3B_3C_3D_3$, то прямые$A_1C_1$, $A_2C_2$ и$A_3C_3$ пересекутся в одной точке.
Изображения страниц
Решение задачи (1972, № 6) Задача М107 // Квант. — 1971. — № 10. — Стр. 33; 1972. — № 6. — Стр. 40—41.
Текстовое представление решения задачи находится в процессе подготовки. С графическим представлением можно ознакомиться в опубликованном номере