«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Двое играют в «крестики» и «нолики» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Начинающий ставит крестик в любую клетку. Каждым следующим своим ходом он должен ставить крестик в любую свободную клетку, соседнюю с одной из клеток, где уже стоит крестик; соседней с данной клеткой считается любая,…
На плоскости даны три точки $K$, $L$, $N$. Про четырёхугольник известно, что он выпуклый и что середины некоторых трёх его сторон лежат в данных точках $K$, $L$, $N$. Найдите множества точек, в которые может…
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $[AD]$ и $[CE]$. Докажите, что $|CE|\cdot|AB|=|AD|\cdot|BC|$ тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из двух условий:
Какому условию должны удовлетворять длины сторон треугольника, чтобы треугольник, составленный из
был подобен данному?
На отрезке длины 7 можно поставить пять точек (см. рис. 3) так, чтобы для любого $m=1$, 2, $\ldots$, 7 нашлись две из этих пяти точек на расстоянии $m$.
Попробуйте выяснить, какое наименьшее число $k_n$ точек нужно поставить на отрезке…
На полке стоят первые $n$ томов энциклопедии. С ними можно проводить следующую операцию: взять любые три рядом стоящих тома и поставить их между любыми двумя томами, а также в начало или в конец ряда, не меняя при этом порядка этих трёх томов. Можно ли, применив несколько раз…
Сечение правильного тетраэдра — четырёхугольник. Докажите, что периметр этого четырёхугольника больше $2a$, но меньше $3a$; где $a$ — длина ребра тетраэдра.
В некотором посёлке 1000 жителей. Ежедневно каждый из них делится узнанными вчера новостями со всеми своими знакомыми. Известно, что любая новость становится известной всем жителям посёлка. Докажите, что можно выбрать 90 жителей так, что если одновременно всем им сообщить какую-то…
Из центра каждой из двух данных окружностей проведены касательные к другой окружности. Докажите, что хорды, соединяющие точки пересечения касательных с окружностями (на рисунке 1 эти хорды показаны красным цветом), имеют одинаковые длины.
Шарообразная планета движется по окружности вокруг звезды и вращается вокруг своей оси, причём ось суточного вращения наклонена к плоскости орбиты под углом $\alpha$ (для нашей Земли $\alpha=66{,}5^\circ$). Найдите зависимость продолжительности $T$ самого короткого дня в году…
Сумма двух рациональных чисел $x$ и $y$ — натуральное число, сумма обратных к ним чисел $\dfrac1x$ и $\dfrac1y$ — тоже натуральное число. Какими могут быть $x$ и $y$?
Назовём округлением нецелого числа $x$ замену его на одно из двух ближайших целых чисел ($[x]$ или $[x]+1$).
На стороне $AB$ квадрата $ABCD$ взята точка $E$, а на стороне $CD$ — точка $F$, причём $AE:EB=1:2$, $CF=FD$. Будут ли голубой и розовый треугольники (рис. 1) подобны?
Через две вершины треугольника проведены две прямые, разбивающие его на три треугольника и четырёхугольник.
При каких…
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Докажите, что равенство $$ AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(AO^2+BO^2+CO^2+DO^2) $$ выполнено тогда и только тогда, когда либо диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, либо одна из них делится точкой…
Если квадрат повернуть относительно его центра на $45^\circ$, то полученный квадрат разделит стороны первоначального в некотором отношении. Возьмём произвольный выпуклый четырёхугольник, разделим его стороны в том же отношении и через точки деления проведём прямые, образующие новый…
При каких натуральных $n\gt 1$ в таблице можно выбрать $n$ разных чисел в разных строках и разных столбцах? $$ \begin{array}{cccccc} 1&2&3&\ldots&n-1&n\\ n&1&2&\ldots&n-2&n-1\\ n-1&n&1&\ldots&n-3&n-2\\ &&&\mathclap{~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.}&&\\ 2&3&4&\ldots&n&1 \end{array} $$