«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Двое играют в «крестики» и «нолики» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Начинающий ставит крестик в любую клетку. Каждым следующим своим ходом он должен ставить крестик в любую свободную клетку, соседнюю с одной из клеток, где уже стоит крестик; соседней с данной клеткой считается любая,…
На плоскости даны три точки $K$, $L$, $N$. Про четырёхугольник известно, что он выпуклый и что середины некоторых трёх его сторон лежат в данных точках $K$, $L$, $N$. Найдите множества точек, в которые может…
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $[AD]$ и $[CE]$. Докажите, что $|CE|\cdot|AB|=|AD|\cdot|BC|$ тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из двух условий:
В некотором посёлке 1000 жителей. Ежедневно каждый из них делится узнанными вчера новостями со всеми своими знакомыми. Известно, что любая новость становится известной всем жителям посёлка. Докажите, что можно выбрать 90 жителей так, что если одновременно всем им сообщить какую-то…
Из центра каждой из двух данных окружностей проведены касательные к другой окружности. Докажите, что хорды, соединяющие точки пересечения касательных с окружностями (на рисунке 1 эти хорды показаны красным цветом), имеют одинаковые длины.
Шарообразная планета движется по окружности вокруг звезды и вращается вокруг своей оси, причём ось суточного вращения наклонена к плоскости орбиты под углом $\alpha$ (для нашей Земли $\alpha=66{,}5^\circ$). Найдите зависимость продолжительности $T$ самого короткого дня в году…
Сумма двух рациональных чисел $x$ и $y$ — натуральное число, сумма обратных к ним чисел $\dfrac1x$ и $\dfrac1y$ — тоже натуральное число. Какими могут быть $x$ и $y$?