«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Имеется несколько кучек камней. Двое играют в игру, ход которой состоит в том, что игрок разбивает каждую кучку, состоящую более чем из одного камня, на две меньшие кучки. Ходы делаются поочерёдно до тех пор, пока во всех кучках не останется по одному камню. Победителем считается игрок,…
Три мухи ползают по сторонам треугольника $ABC$ так, что центр тяжести образуемого треугольника остаётся на одном месте. Докажите, что он совпадает с центром тяжести треугольника $ABC$, если известно, что одна из мух проползла по всей границе треугольника. (Центром…
В плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, которая имеет общую точку с каждым из этих многоугольников.
На доске написано несколько нулей, единиц и двоек. Разрешается стереть две неравные цифры и вместо них написать одну цифру, отличную от стёртых (2 вместо 0 и 1, 1 вместо 0 и 2, 0 вместо 1 и 2). Докажите, что если в результате нескольких таких операций на доске останется одна-единственная цифра,…
Докажите, что пересечение трёх прямых круговых цилиндров радиуса 1, оси которых попарно взаимно перпендикулярны (но не обязательно пересекаются), содержится в некотором шаре радиуса $\sqrt\dfrac32$.
В каждой клетке шахматной доски написано целое число от 1 до 64, причём в разных клетках — разные числа. За один вопрос можно, указав любую совокупность полей, узнать совокупность (множество) чисел, стоящих на этих полях. За какое наименьшее число вопросов можно узнать число в каждой…
6 активистов класса образовали 30 различных комиссий. Каждые две комиссии различаются составом, но обязательно «пересекаются», т. е. имеют общего члена. Докажите, что можно образовать ещё одну комиссию, пересекающуюся с каждой из этих 30 комиссий.
Квадратная комната разгорожена перегородками, параллельными стенам, на несколько меньших квадратных комнат. Длина стороны каждой комнаты — целое число. Докажите, что сумма длин всех перегородок делится на 4.
Можно ли бесконечный лист клетчатой бумаги разбить на «доминошки» (каждая доминошка покрывает две соседние клетки) так, чтобы каждая прямая, идущая по линии сетки, разрезала пополам лишь конечное число доминошек?
В вершинах правильного $n$-угольника с центром в точке $O$ расставлены числа ($+1$) и ($-1$). За один шаг разрешается изменить знак у всех чисел, стоящих в вершинах какого-либо правильного $k$-угольника с центром…
Треугольник, все стороны которого больше 1 см, назовём «большим». Дан правильный треугольник $ABC$ со стороной 5 см. Докажите, что:
На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовём пару несоседних звеньев особенной, если продолжение одного из них пересекает другое (рис. 1). Докажите, что число особенных пар чётно.
Имеется тысяча билетов с номерами 000, 001, $\ldots$, 999 и сто ящиков с номерами 00, 01, $\ldots$, 99. Билет разрешается опускать в ящик, если номер ящика можно получить из номера этого билета вычёркиванием одной из цифр. Докажите, что
Среди 1977 монет 50 фальшивых. Каждая фальшивая монета отличается от настоящей на 1 г (в ту или другую сторону). Имеются чашечные весы со стрелкой, показывающей разность масс одной и другой чашки. За одно взвешивание про одну выбранную монету нужно узнать, фальшивая она или настоящая. Как это…
Две пересекающиеся окружности вырезают из плоскости три ограниченные непересекающиеся области. Докажите, что не существует окружности, делящей пополам площадь каждой из этих трёх областей.
$p$ — простое нечётное число. Дано $p-1$ целых чисел, не делящихся на $p$. Докажите, что, заменив некоторые из этих чисел на противоположные, можно получить $p-1$ чисел, сумма которых делится на $p$.
Каких шестизначных чисел больше: представимых в виде произведения двух трёхзначных чисел, или не представимых?
Числа $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ принадлежат отрезку $[a;b]$, где $0\lt a\lt b$. Докажите неравенство $$ (x_1+x_2+\ldots+x_n)\left(\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}+\ldots+\dfrac1{x_n}\right)\le \dfrac{(a+b)^2}{4ab}\,n^2. $$
Функция $f$ определена на отрезке $[a;b]$ длины 4 и имеет на нём непрерывную производную $f'$. Докажите, что внутри отрезка $[a;b]$ найдётся точка $x$, для которой $$ f'(x)-(f(x))^2\lt1. $$
Докажите, что для любых чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, принадлежащих отрезку $[0; 1]$, выполнено неравенство $$ (x_1+x_2+\ldots+x_n+1)^2 \ge 4(x_1^2 + x_2^2+\ldots+x_n^2). $$
Докажите, что при любых $a\ge\dfrac12$, $b\ge\dfrac12$ справедливо неравенство $$ \left(\dfrac{a^2-b^2}{2}\right)^2\ge\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}-\dfrac{a+b}{2}. $$
Назовём пузатостью прямоугольника отношение его меньшей стороны к большей (пузатость квадрата равна 1). Докажите, что, как бы ни разрезать квадрат на прямоугольники, сумма их пузатостей будет не меньше 1.
Докажите, что если сумма двух натуральных чисел равна $30\,030$, то их произведение не делится на $30\,030$.
На окружности отметили $4k$ точек и раскрасили их попеременно в красный и синий цвета; затем $2k$ красных точек произвольным образом соединили попарно $k$ красными отрезками, а $2k$ синих — $k$ синими отрезками (никакие три…
Из листа клетчатой бумаги размерами $29\times 29$ клеток вырезали 99 квадратиков размерами $2\times 2$ каждый. Докажите, что из него можно вырезать ещё один такой квадратик.
Про пять целых чисел $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ известно, что суммы $a+b+c+d+e$ и $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2$ делятся на нечётное число $p$. Докажите, что число $$ a^5+b^5+c^5+d^5+e^5-5abcde $$ также делится на…
Сумма трёх целых чисел $a$, $b$ и $c$ равна 0. Докажите, что число $2a^4+2b^4+2c^4$ — квадрат целого числа.
Докажите, что за $3n+1$ взвешиваний на чашечных весах без гирь можно выделить самый лёгкий и самый тяжёлый из $2n+2$ камней, если:
Двое играют в шахматы с часами. После того как оба сделали по 40 ходов, часы обоих показывали 2 часа 30 минут.
Прямоугольная шоколадка разбита продольными и поперечными углублениями на 50 квадратных долек. Двое играют в такую игру. Начинающий разламывает шоколадку по некоторому углублению на две прямоугольные части. Затем играющие по очереди ломают одну из получившихся частей по некоторому углублению на…
Разложите на простые множители число $989 \cdot 1001 \cdot 1007 +320$.
Текст задачи готовится
Докажите, что не существует строго возрастающей последовательности целых неотрицательных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$, для которых при любых $n$ и $m$ выполняется соотношение $$ a_{nm}=a_n+a_m. $$
Куб $100\times 100 \times 100$ составлен из миллиона единичных кубиков. Назовём шампуром прямую, проходящую через центры кубиков и параллельную рёбрам куба.
На шахматную доску $n \times n$ клеток уложено $k$ плиток размером $2 \times 1$, причём так, что положить $(k+1)$-ю плитку, не перемещая уже имеющихся плиток, нельзя. Докажите, что свободных клеток осталось не более чем
На плоскости дан набор из $n$ векторов, длина каждого из которых не превосходит 1. Докажите, что, заменив некоторые векторы этого набора на противоположные, можно получить такой набор из $n$ векторов, сумма которых имеет длину
На плоскости заданы точки $A$, $B$, $C$ — центры трёх кругов. Каждый круг равномерно раздувается (радиус увеличивается с одинаковой для всех кругов скоростью). Как только два круга касаются друг друга, они «лопаются» — их радиусы уменьшаются до 0 — и…
На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 выделен квадрат $ABCD$ $n\times n$ клеток. Из вершины $A$ в $C$ по линиям сетки проводится случайная ломаная длины $2n$. В $n$ клетках квадрата, случайно расположенных в разных…