Наметим сначала геометрическую идею одного из самых коротких доказательств.
Рассмотрим на плоскости $Oxy$ $n$ точек $\left(x_i;\dfrac1{x_i}\right)$, $i=1$, 2, $\ldots$, $n$. Эти точки лежат на гиперболе $y=\dfrac1x$, причём по условию $a\le x_i\le b$. Точка $M^*(x^*;y^*)$ с координатами
$$
x^*=\dfrac{x_1+x_2+\ldots+x_n}n,\qquad y^*=\dfrac{\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}+\ldots+\dfrac1{x_n}}n\tag1
$$
— центр тяжести $n$ одинаковых материальных точек $\left(x_i;\dfrac1{x_i}\right)$. Поэтому она принадлежит выпуклой фигуре, ограниченной дугой гиперболы и отрезком прямой с концами в точках $A\left(a;\dfrac1a\right)$ и $B\left(b;\dfrac1b\right)$ (рис. 4).
Произведение $x^*y^*$ — площадь заштрихованного на рисунке 4 прямоугольника — достигает максимума, когда точка $M^*$ попадает в середину отрезка $AB$. В самом деле, ясно, что если точка $(x^*;y^*)$ не лежит на $[AB]$, то площадь можно увеличить, сдвинув $M^*$ на отрезок $AB$. А для точек $(x;y)$ этого отрезка $y$ — линейная функция от $x$, следовательно, площадь $s(x)=xy$ — квадратный трёхчлен от $x$. Поскольку $s(x)$ принимает при $x=a$ и $x=b$ одинаковые значения $s(a)=s(b)=1$ (рис. 5), максимум $s(x)$ достигается посередине между $x=a$ и $x=b$ — при $x=\dfrac{a+b}2$, $y=\dfrac12\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)$.
Отсюда
$$
x^*y^*\le\dfrac{a+b}2\cdot\dfrac{\dfrac1a+\dfrac1b}2=\dfrac{(a+b)^2}{4ab},
$$
что и требовалось доказать.
В более математическом обосновании нуждается лишь тот факт, что центр тяжести — точка с координатами (1) — лежит ниже отрезке $AB$. Заметим, что уравнение прямой $AB$ имеет вид $aby+x=a+b$ (проверьте, что точки $A$ и $B$ лежат на этой прямой), так что основной этап нашего доказательства — неравенство
$$
aby^*+x^*\le a+b.\tag2
$$
Теперь всё готово для короткого формального доказательства (которым мы могли бы ограничиться): для каждого $i$
$$
\dfrac{ab}{x_i}+x_i\le a+b,\tag3
$$
поскольку $(x-a)(x-b)\le0$ для $x\in[a;b]$. Сложив неравенства (3) по $i=1$, 2, $\ldots$, $n$, разделив обе части на $n$ и введя обозначения (1), получим (2), откуда
$$
x^*y^*\le x^*\cdot\dfrac{a+b-x^*}{ab}\le\dfrac{\left(\dfrac{a+b}2\right)^2}{ab}=\dfrac{(a+b)^2}{4ab}.
$$
