Задача М440‍‍

a) На рисунке 6 показано, как можно провести 297 шампуров с соблюдением условий задачи. Докажем, что меньшим количеством шампуров обойтись нельзя.

Пусть удалось провести $X$‍‍ непересекающихся шампуров так, что к ним нельзя добавить уже ни одного шампура, причём пусть $X\lt297$‍.‍ Тогда шампуров какого-то направления не больше, чем 98 (пусть их $Y$‍:‍ $Y\le98$‍).‍ Рассмотрим произвольную плоскость, проходящую через центры кубиков перпендикулярно выбранному направлению. После проведения $Y$‍‍ шампуров выбранного направления в этой плоскости можно провести по крайней мере ещё $100-Y$‍‍ шампуров какого-то из двух оставшихся направлений. Подсчитаем теперь общее количество шампуров. Имеем $Y$‍‍ шампуров выбранного направления плюс по крайней мере $100-Y$‍‍ шампуров в каждой из ста перпендикулярных выбранному направлению плоскостей (иначе можно будет добавить ещё шампур). Итак, получаем $$ X\ge Y+100(100-Y)=100^2-99Y\ge100^2-99\cdot98=298, $$ что противоречит предположению $X\lt297$‍.‍ Таким образом, мы доказали, что меньше 297 шампуров с соблюдением условий пункта а) задачи провести нельзя.

Перейдём к решению задачи б).

б) Раскрасим проведённые шампуры в три цвета: красный, синий и зеленый — шампуры каждого направления — в свой цвет. Пусть шампуров красного цвета — $\textit{К}$‍‍ штук, синего — $\textit{С}$‍,‍ зелёного — $\textit{З}$‍.‍ Плоскости, проходящие через центры кубиков и перпендикулярные красным шампурам, будем называть красными, перпендикулярные синим — синими, и зелёным — зелёными.

Обозначим через $\textit{К}_{\textit{С}}$‍‍ количество синих плоскостей, в которых лежат красные шампуры, через $\textit{К}_{\textit{З}}$‍‍ — количество зелёных плоскостей, в которых лежат красные шампуры; аналогично введём обозначения $\textit{С}_{\textit{К}}$‍,‍ $\textit{С}_{\textit{З}}$‍,‍ $\textit{З}_{\textit{К}}$‍‍ и $\textit{З}_{\textit{С}}$‍.‍

Так как каждый красный шампур есть пересечение синей и зелёной плоскостей, то $$ \textit{К}\le\textit{К}_{\textit{З}}\cdot\textit{К}_\textit{С}, $$ Аналогично $$ \textit{С}\le \textit{С}_{\textit{К}}\cdot\textit{С}_{\textit{З}},\quad \textit{З}\le \textit{З}_{\textit{С}}\cdot\textit{З}_{\textit{К}}. \tag{1} $$

Кроме того, так как в одной и той же красной плоскости не могут лежать одновременно синий и зелёный шампуры, то $$ \textit{С}_{\textit{К}}+\textit{З}_{\textit{К}}\le100. $$ (мы рассматриваем только плоскости, проходящие через центры кубиков, так что плоскостей каждого направления — по 100 штук).

Аналогично $$ \textit{К}_{\textit{С}}+\textit{З}_{\textit{С}}\le100,\quad \textit{К}_{\textit{З}}+\textit{С}_{\textit{З}}\le100. \tag{2} $$

Используя неравенства (1), (2) и теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом‍, получаем $$ \textit{К}\cdot\textit{С}\cdot\textit{З}\le\textit{К}_{\textit{З}}\cdot\textit{К}_{\textit{С}}\cdot\textit{С}_{\textit{К}}\cdot\textit{С}_{\textit{З}}\cdot\textit{З}_{\textit{К}}\cdot\textit{З}_{\textit{С}}\le\left[\dfrac16(\textit{К}_{\textit{З}}+\textit{К}_{\textit{С}}+\ldots+\textit{З}_{\textit{К}})\right]^6\le50^6, $$ откуда $X\le2500$‍.‍

Пример расположения 2500 шампуров в соответствии с условиями задачи б) приведён на рисунке 7.