«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Обозначим через $\sigma (n)$ сумму всех делителей натурального числа $n$ (рис. 3). Докажите, что существует бесконечно много $n$ таких, что
Докажите, что…
Докажите, что среднее арифметическое длин сторон правильного многоугольника меньше среднего арифметического длин его диагоналей.
Обозначим через $\sigma(n)$ сумму всех натуральных делителей числа $n$ (включая $1$ и $n$) и через $\varphi(n)$ — количество чисел, меньших числа $n$ и взаимно простых с ним. Докажите, что для любого натурального…
Пусть $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ — различные попарно взаимно простые натуральные числа. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных $b$, что числа $b+a_1$, $b+a_2$, $\ldots$,…
Среди $n$ членов арифметической прогрессии удалось выбрать $k$ членов, образующих возрастающую геометрическую прогрессию. Докажите, что $n\ge2^{k-1}$.
Пусть $q$ — натуральное число, $q\ge3$. Докажите, что если $k^2+k+q$ — простое число для всех целых $k$, где $0\le k\le\sqrt{\dfrac q3}$ то $k^2+k+q$ — простое для всех целых $k$, где $0\le k\le q-2$.
Для данного натурального $n\gt1$ выпишем наибольшие общие делители всевозможных пар различных чисел от 1 до $n$. Докажите, что
Пусть $m\gt1$ — натуральное число, $s$ — наибольшее целое число, для которого $2^s\le m$. Докажите, что