Задача М795‍‍

Обозначим через $\sigma (n)$‍‍ сумму всех делителей натурального числа $n$‍.‍ $$ \def\a#1{\enspace\mathclap{#1}\enspace} \def\|{\vphantom{\dfrac12}} \begin{array}{|c|cccccccccccc|} \hline \a{n}&&\a1&\a2&\a3&\a4&\a5&\a6&\a7&\a8&\a9&\a{10}&\|\\ \hline ~\a{\sigma(n)}~&&\a1&\a3&\a4&\a7&\a6&\a{12}&\a8&\a{15}&\a{13}&\a{18}&\|\\ \hline \end{array} $$ Докажите, что существует бесконечно много $n$‍‍ таких, что

1. $\sigma(n)\gt2n$‍;‍
2. $\sigma(n)\gt3n$‍.‍

Докажите, что для любого $n$‍‍

1. $\sigma(n)\lt n(\log_2n+2)$‍;‍
2. $\sigma(n)\lt n(\ln n+1)$‍.‍