Гальперин Г. А. / Авторы задач / Задачи // Архив журнала «Квант»

Задачи по математике‍‍

Задача М10
Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырехугольника, целиком покрывают этот четырехугольник. Доказать, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.
Задача М46
Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных по длине наибольшей диагонали?
Задача М54
Два равных между собой прямоугольника расположены так, что их контуры пересекаются в восьми точках. Доказать, что площадь общей части этих прямоугольников больше половины площади каждого из них.
Задача М115
В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешается перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Доказать, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю…
Задача М116
Докажите, что если соединить середины последовательных сторон выпуклого $n$‍‍-угольника $M$‍‍ (рис. 1), то у полученного многоугольника

а) периметр не меньше половины периметра $M$‍‍ ($n\geq3$‍);‍

б) площадь не меньше половины…
Задача М130
Какое наибольшее число точек можно разместить
1. на плоскости;
2. в пространстве,
так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был…
Задача М155
Дано несколько квадратов, сумма площадей которых равна 1. Доказать, что их можно поместить без наложений в квадрат площади 2.
Задача М216
$N$‍‍ человек не знакомы между собой. Нужно так познакомить друг с другом некоторых из них, чтобы ни у каких трёх людей не оказалось одинакового числа знакомых. Докажите, что это можно сделать при любом $N$‍.‍
Задача М220
Король обошёл шахматную доску $8\times8$‍,‍ побывав на каждом поле ровно один раз и вернувшись последним ходом на исходное поле. (Король ходит по обычным правилам: за один ход он может перейти по горизонтали, вертикали или диагонали на любое соседнее поле.) Когда нарисовали его путь,…
Задача М221
На бумагу поставили кляксу. Для каждой точки кляксы определили наименьшее расстояние от границы кляксы, а также наибольшее расстояние от границы кляксы (на рис. показано наибольшее и наименьшее расстояния от границы для точки $K$‍).‍ Среди всех наименьших расстояний выбрали наибольшее…
Задача М222
Докажите, что у каждого выпуклого многогранника найдутся две грани с одинаковым числом сторон.
Задача М225
Грани кубика занумерованы числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, что сумма номеров на противоположных гранях равна 7. Кубик катят из левого нижнего в правый верхний угол шахматной доски размером $50\times50$‍‍ клеток (каждая клетка доски равна грани кубика) так, что он каждый раз переваливается через…
Задача М229
В центре квадрата находится полицейский, а в одной из вершин — гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер — только по его сторонам. Известно, что максимальная скорость полицейского равна $u$‍,‍ а гангстера — $v$‍.‍ Цель полицейского — оказаться с…
Задача М233
В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма — число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее — 1973 раза (рис. 1). Сколько раз будет написано число 1973?
Задача М252
1. На плоскости лежит правильный восьмиугольник со стороной $a$‍.‍ Его разрешается «перекатывать» по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любой точки $M$‍‍ плоскости и любого…
Задача М281
Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого имеют одинаковую длину?
Задача М495
В космическом пространстве вокруг планеты $O$‍‍ по трём круговым орбитам с центром $O$‍‍ равномерно вращаются три спутника. Угловые скорости спутников равны соответственно $\omega_1$‍,‍ $\omega_2$‍‍ и $\omega_3$‍,‍ а их начальные положения могут быть…
Задача М505
1. Пусть на прямой помещены $n$‍‍ материальных точек одинаковой массы. Рассмотрим произвольный отрезок длины $2r$‍,‍ содержащий хотя бы одну из этих точек, и найдём центр тяжести $O_1$‍‍ всех попавших в него точек. Рассмотрим отрезок…
Задача М545
На плоскости задано $n$‍‍ точек. Нужно разместить в этих точках $n$‍‍ прожекторов, каждый из которых освещает угол величины $360^\circ /n$‍‍ так, чтобы осветить всю плоскость. Докажите, что это возможно при любом расположении данных точек, если

а)…
Задача М558
В круге расположено $k\gt1$‍‍ чёрных секторов, угол каждого из которых меньше $\dfrac{180^\circ}{k^2-k+1}$‍.‍ Докажите, что круг можно повернуть вокруг центра $O$‍‍ так, что все чёрные секторы перейдут в белую часть круга.
Задача М570
Задан набор квадратов, сумма площадей которых равна 4. Докажите, что квадратами этого набора всегда можно покрыть квадрат площади 1.
Задача М686
Для любого ли числа $x \ge1 $‍‍ верно равенство $$ \left[\sqrt{\left[\sqrt{x}\right]}\right]=\left[ \sqrt{\sqrt{x}}\right]? $$ (Здесь через $[y]$‍‍ обозначена целая часть числа $y$‍.)‍
Задача М705
На прямоугольном листе клетчатой бумаги расположено несколько прямоугольных карточек, стороны которых лежат на линиях сетки. Карточки покрывают лист в два слоя (т. е. каждую клетку листа покрывают в точности две карточки).
1. Пусть каждая карточка имеет…
Задача М757
Из последовательности 1, $\dfrac12$‍,‍ $\dfrac13$‍,‍ $\dfrac14$‍,‍ $\dots$‍‍ нетрудно выделить арифметическую прогрессию длины три: $\dfrac12$‍,‍ $\dfrac13$‍,‍ $\dfrac16$‍.‍ Можно ли из этой последовательности выбрать арифметическую прогрессию
Задача М849
Из цифр 1, 2, $\ldots$‍,‍ 7, взятых в разном порядке, составлены семь семизначных чисел. Докажите, что сумма седьмых степеней нескольких из этих чисел не может равняться сумме седьмых степеней остальных чисел.
Задача М1006
Через две вершины треугольника проведены две прямые, разбивающие его на три треугольника и четырёхугольник.
1. Могут ли площади всех четырёх частей быть равными?
2. Какие три из этих частей могут иметь равные площади? Во сколько раз отличается от них…
Задача М1020
На сфере радиуса 1 проведена:
1. кривая, длина которой меньше $\pi$‍;‍
2. замкнутая кривая, длина которой меньше $2\pi$‍.‍
Докажите, что найдётся плоскость, проходящая через центр сферы, не пересекающая…
Задача М1155
[MISSING TEXT]
Задача М1274
Докажите, что разность между числами $$ \dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{\ldots+\dfrac{1}{n-1}}}} \qquad\text{и}\qquad \dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{\ldots+\dfrac{1}{n-1+\dfrac{1}{n}}}}} $$ по модулю не превосходит $\dfrac{1}{(n-1)!n!}$‍.‍
Задача М1446
[MISSING TEXT]
Задача М1537
[MISSING TEXT]
Задача М1540
[MISSING TEXT]
Задача М1595
[MISSING TEXT]
Задача М1597
[MISSING TEXT]
Задача М1644
[MISSING TEXT]
Задача М1655
[MISSING TEXT]
Задача М1829
[MISSING TEXT]
Задача М1941
[MISSING TEXT]
Задача М2081
[MISSING TEXT]
Задача М2117
[MISSING TEXT]
Задача М2132
[MISSING TEXT]
Задача М2185
[MISSING TEXT]
Задача М2310
[MISSING TEXT]
Задача М2369
[MISSING TEXT]

Гальперин Г. А.‍44

Задачи по математике‍‍