«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырехугольника, целиком покрывают этот четырехугольник. Доказать, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.
Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных по длине наибольшей диагонали?
Два равных между собой прямоугольника расположены так, что их контуры пересекаются в восьми точках. Доказать, что площадь общей части этих прямоугольников больше половины площади каждого из них.
В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешается перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Доказать, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю…
Докажите, что если соединить середины последовательных сторон выпуклого $n$-угольника $M$ (рис. 1), то у полученного многоугольника
а) периметр не меньше половины периметра $M$ ($n\geq3$);
б) площадь не меньше половины…
Какое наибольшее число точек можно разместить
так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был…
$N$ человек не знакомы между собой. Нужно так познакомить друг с другом некоторых из них, чтобы ни у каких трёх людей не оказалось одинакового числа знакомых. Докажите, что это можно сделать при любом $N$.
В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма — число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее — 1973 раза (рис. 1). Сколько раз будет написано число 1973?
Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого имеют одинаковую длину?
В космическом пространстве вокруг планеты $O$ по трём круговым орбитам с центром $O$ равномерно вращаются три спутника. Угловые скорости спутников равны соответственно $\omega_1$, $\omega_2$ и $\omega_3$, а их начальные положения могут быть…
На плоскости задано $n$ точек. Нужно разместить в этих точках $n$ прожекторов, каждый из которых освещает угол величины $360^\circ /n$ так, чтобы осветить всю плоскость. Докажите, что это возможно при любом расположении данных точек, если
а)…
Для любого ли числа $x \ge1 $ верно равенство $$ \left[\sqrt{\left[\sqrt{x}\right]}\right]=\left[ \sqrt{\sqrt{x}}\right]? $$ (Здесь через $[y]$ обозначена целая часть числа $y$.)
На прямоугольном листе клетчатой бумаги расположено несколько прямоугольных карточек, стороны которых лежат на линиях сетки. Карточки покрывают лист в два слоя (т. е. каждую клетку листа покрывают в точности две карточки).
Из последовательности 1, $\dfrac12$, $\dfrac13$, $\dfrac14$, $\dots$ нетрудно выделить арифметическую прогрессию длины три: $\dfrac12$, $\dfrac13$, $\dfrac16$. Можно ли из этой последовательности выбрать арифметическую прогрессию
Из цифр 1, 2, $\ldots$, 7, взятых в разном порядке, составлены семь семизначных чисел. Докажите, что сумма седьмых степеней нескольких из этих чисел не может равняться сумме седьмых степеней остальных чисел.