«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Имеется линейка с двумя делениями (рис. 1). С помощью линейки можно проводить произвольные прямые и откладывать отрезки определённой длины. Постройте с её помощью
Верно ли такое утверждение: из любых шести натуральных чисел можно выбрать три числа, каждые два из которых не имеют общих делителей, бо́льших 1, или три числа, имеющие общий делитель, больший 1?
На столе у чиновника Министерства околичностей лежит $n$ томов Британской энциклопедии, сложенных в несколько стопок. Каждый день, придя на работу, чиновник берёт из каждой стопки по одному тому и складывает взятые тома в новую стопку, затем располагает стопки по количеству…
В пространстве имеются 30 ненулевых векторов. Докажите, что среди них найдутся два, угол между которыми меньше $45^\circ$.
В таблице $n \times n$, заполненной числами, все строки различны. Докажите, что из таблицы можно вычеркнуть некоторый столбец так, что в оставшейся таблице все строки также будут различны.
В квадрате со стороной 1 проведено конечное число отрезков, параллельных его сторонам. Отрезки могут пересекать друг друга. Сумма длин проведённых отрезков равна 18. Докажите, что среди частей, на которые квадрат разбивается этими отрезками, найдётся такая, площадь которой не меньше…
Докажите следующие свойства последовательности Фибоначчи $f_1=1$, $f_2=2$, $\ldots$, $f_{k+1}=f_k+f_{k-1}$:
На окружности расставляются синие и красные точки (рис. 2а). Разрешается добавить новую красную точку и одновременно поменять цвет у каждой из двух соседних с ней точек (рис. 2б), либо убрать красную точку и поменять цвет у каждой из соседних точек (рис. 2в). Пусть первоначально было всего две…
На берегу круглого озера четыре пристани $K$, $L$, $P$, $Q$. От пристани $K$ отплывает катер, от $L$ — лодка. Если катер поплывёт прямо в $P$, а лодка — прямо в $Q$, то они…
В копилке собрано четыре рубля мелкими монетами. Докажите, что этими монетами можно заплатить три рубля без сдачи.