«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Вокруг окружности описан $n$—угольник. Произвольная точка $P$ внутри окружности соединена со всеми его вершинами и точками касания. Образовавшиеся $2n$ треугольников окрашены попеременно в красный и синий цвет. Докажите, что произведение площадей…
Докажите, что количество решений уравнения $$ x^3+y^2=z^3+t^2+1 $$ в натуральных числах, не превосходящих $10^6$, меньше, чем количество решений уравнения $$ x^3+y^2=z^3+t^2 $$ в натуральных числах, не превосходящих $10^6$.
Найдите последовательность $(a_n)$, определяемую условиями $a_1=1$, $$ 1+\textstyle\sum\limits_d{}(-1)^{n/d}a_{d}=0, \tag{*} $$ где сумма $\sum$ берётся по всем делителям $d$ числа $n$ (включая $d=1$ и $d=n$).
Например, если…
На координатной плоскости заданы четыре точки с рациональными координатами, не лежащие в вершинах параллелограмма, причём никакие три из них не принадлежат одной прямой. Разрешается проводить прямую через любые две уже полученные точки и отмечать точку пересечения любых двух проведённых прямых.…
Каждая сторона выпуклого четырёхугольника разделена на 8 равных частей. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены друг с другом, и полученные клетки раскрашены в шахматном порядке. Докажите, что сумма площадей чёрных клеток равна сумме площадей белых клеток.
В каждой клетке бесконечного листа клетчатой бумаги записано натуральное число.
На сфере построен треугольник, одна «сторона» которого имеет величину $120^\circ$. Докажите, что «медиана», опущенная на эту «сторону», делится каждой из двух других «медиан» на две равные части. («Медианы» и «стороны» — дуги больших окружностей.)
В условии задачи М630, опубликованной в «Кванте» (1980, №6, с. 19), допущена неточность. Первые два предложения должны быть таковы:
На плоскости даны окружность $\gamma$ и точка $K$. Проведём через произвольные точки $P$,…