«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Найдите все простые числа $p$, для которых число $2^p+p^2$ — тоже простое.
Дан четырёхугольник $ABCD$ площади $S$. Обозначим точки пересечения высот треугольников $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$ через $H$, $K$, $L$, $M$ соответственно.…
Докажите, что наименьшее общее кратное $n$ натуральных чисел $a_1 \lt a_2 \lt \ldots \lt a_n$ не меньше $na_1$.
Постройте треугольник $ABC$, если заданы его наименьший угол $\widehat A$ и отрезки длины $d=|AB|-|BC|$ и $e=|AC|-|BC|$.
Последовательность $(x_i)$ определяется условиями $$x_1=1,\quad x_2=0,\quad x_3=2,\quad x_{n+1}=x_{n-2}+2x_{n-1}.$$ Докажите, что для любого натурального $m$ найдутся два соседних члена этой последовательности, каждый из которых делится на $m$.
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Докажите, что
Дано несколько точек, некоторые пары которых соединены линиями (точки таких пар называются соседями). Число соседей у каждой точки нечётно. В начальный момент все точки раскрашены в два цвета — красный и синий. Затем каждую минуту происходит…
Во вписанном четырёхугольнике одна диагональ делит вторую пополам. Докажите, что квадрат длины первой диагонали равен половине суммы квадратов длин всех сторон четырёхугольника.
Пусть $a$ — натуральное число такое, что $2^a-2$ делится на $a$ (например, $a=3$). Определим последовательность $(x_n)$ условиями $$ x_1=a,\quad x_{k+1}=2^{x_k}-1 $$ Докажите, что $2^{x_k}-2$ делится на $x_k$ при любом…
На плоскости в вершинах треугольника лежат три шайбы $A$, $B$, $C$. Хоккеист выбирает одну из них и бьёт по ней так, что она проходит между двумя другими и останавливается в какой-то точке.