«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ площадью $S$ диагонали пересекаются в точке $O$. Пусть $K$, $L$, $M$, $N$ — центры окружностей, вписанных в треугольники $AOB$, $BOC$,…
Докажите, что
Назовём натуральное число удачным, если цифры в его десятичной записи можно разбить на две группы так, что суммы цифр в этих группах равны.
Вырезанный из бумаги выпуклый многоугольник·10 раз складывают (перегибая по некоторым прямым) и затем разрезают по прямой. Какое наибольшее число кусков может получиться?
На окружности в $n$ точках расставлены числа 0, 1, 2. Затем одновременно во всех точках производится следующее преобразование: каждое число 2 заменяется на 0, а затем к следующему за ним по часовой стрелке числу прибавляется 1. Пусть вначале количество двоек равнялось…
Пусть $a$, $b$, $c$ — неотрицательные числа.
На плоскости задана окружность с центром $O$ и две точки $A$, $B$ (отличные от $O$) такие, что прямая $AB$ проходит через точку $O$. Постройте хорду $MN$ этой окружности, которая видна из точки…
Диаметр $d$ окружности разбит на $k$ равных частей, и через каждую точку деления проведена хорда, перпендикулярная диаметру. Докажите, что сумма длин всех хорд не меньше $0{,}5kd$ и меньше $0{,}8kd$.
Координаты вершин равнобедренного треугольника — целые числа. Докажите, что квадрат основания — чётное число.
На окружности расставлены $n$ точек, занумерованных подряд числами 1, 2, $\ldots$, $n$. Двое играют в следующую игру. Каждый по очереди проводит хорду, соединяющую две точки с номерами одной чётности. Любая хорда не должна иметь общих точек (даже концов) с…